Такая схема соответствует случаю, когда доход от вклада периодически
начисляется и выплачивается заемщиком, но не изымается кредитором, а ос-
тается у заемщика, увеличивая сумму займа.
Естественно, эта схема подвергает кредитора большему риску, соот-
ветственно он получает и большее вознаграждение.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое процент?
2. Какая схема начисления соответствует случаю, когда доход от вклада
периодически выплачивается заемщиком и тут же изымается кредитором?
18.2 ИЗМЕНЕНИЕ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ ВО ВРЕМЕНИ
При размещении свободных средств в разные ценные бумаги инвестор
стремится получить максимальную выгоду. Для того, чтобы выбрать опти-
мальный способ инвестирования, необходимо сравнить полученные доходы.
Однако доходы могут поступать в разное время.
ПРИВЕДЕНИЕ ДЕНЕЖНЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ К ОДНОМУ И ТОМУ ЖЕ МОМЕНТУ ВРЕМЕНИ
Естественным способом сравнивать денежные поступления в разные сроки
является приведение их к одному и тому же моменту времени.
Как правило, в качестве такого момента выбирают или момент начала ин-
вестиций, или некоторый фиксированный момент в будущем.
ДИСКОНТИРОВАНИЕ и НАРАЩЕНИЕ
Приведение денежных потоков к начальному моменту называется дисконти-
рованием, а к моменту в будущем - наращением.
БУДУЩАЯ СТОИМОСТЬ
В Примере 2 общая сумма денежных средств на счете по окончании
третьего года (1331) называется будущей стоимостью 1000 рублей, инвести-
рованных на 3 года; по ставке 10%, начисляемых ежегодно; при условии ре-
инвестирования процента.
ТЕКУЩАЯ СТОИМОСТЬ
Изначальная стоимость инвестиции 1000 рублей называется текущей стои-
мостью 1331 рубля, которые будут выплачены (или получены) через 3 года;
исходя из ставки 10%, начисляемых ежегодно; при условии реинвестирова-
ния.
Расчет, как мы помним, производился следующим образом:
1000 х (1 + 0,1) х (1 + 0,1) х (1 + 0,1) = 1000 х (1,1)3
При начислении сложного процента мы находим будущую стоимость путем
умножения текущей стоимости на (1+ ставка процента в периоде начисления
в долях единицы) столько раз, сколько начислялся процент. Теперь мы мо-
жем вывести формулу для расчета будущей стоимости денег, инвестированных
на определенный срок под определенный процент с условием реинвестирова-
ния процента.
Формула для расчета по схеме сложного процента имеет следующий вид:
FV = PV х (1 + r)n, (3)
где
FV - будущая стоимость (future value),
PV - текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестиро-
вания = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании)
(present value),
r - ставка процента в периоде начисления в долях единицы (rate),
n - число периодов начисления.
КОЭФФИЦИЕНТ НАРАЩЕНИЯ
Выражение (1 + r)n называется коэффициентом наращения.
Расчет будущей стоимости при использовании формулы сложного процента
называется наращением.
Расчет будущей стоимости в Примере 1, как мы помним, производился
следующим образом:
1000 + 1000 х 0,1 +1000 х 0,1+1000 х 0,1 = 1000 х (1+0,1 х 3)
При начислении простого процента мы находим будущую стоимость путем
умножения текущей стоимости на (1+ ставка процента в периоде начисления
в долях единицы, умноженная на количество периодов начисления).
Формула для расчета по схеме простого процента имеет следующий вид:
FV = PV х (1 + n r), (4)
где
FV - будущая стоимость,
PV - текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестиро-
вания = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),
r - ставка процента в периоде начисления в долях единицы,
n- число периодов начисления.
В случае одного периода (n = 1) формулы (3) и (4) совпадают, т. к. в
случае одного временного интервала реинвестирования не происходит и ус-
ловия заимствования фактически совпадают:
FV = PV х (1+г)
Дисконтирование - это расчет, обратный наращению. При дисконтировании
мы узнаем, сколько сейчас (в момент расчета) стоит известная в будущем
стоимость денег. Этот пересчет к настоящему моменту позволит сравнивать
разные суммы в разные времена. Таким образом, при дисконтировании мы на-
ходим текущую стоимость путем деления известной будущей стоимости на (1
+ ставка процента) столько раз, на сколько раз начисляется процент.
(5)
где
FV - будущая стоимость,
PV - текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестиро-
вания = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),
r - ставка процента в периоде начисления в долях единицы, n- число
периодов начисления.
КОЭФФИЦИЕНТ ДИСКОНТИРОВАНИЯ
Выражение ИЛИ
называется коэффициентом дисконтирования. Он равен величине, обратной
величине коэффициента наращения.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Как называется расчет, результатом которого является приведение
денежных потоков к начальному моменту времени?
2. Как называется коэффициент, обратный коэффициенту дисконтирования?
18.3 РАСЧЕТ ГОДОВЫХ СТАВОК ПРОЦЕНТА
Очевидно, что при одинаковых условиях (одинаковый срок, простой или
сложный процент) выгоднее та инвестиция, у которой выше процентная став-
ка. Однако зачастую сроки инвестиций и периоды выплат по ним не совпада-
ют. В этом случае для того, чтобы сравнивать инвестиции, необходимо
рассчитывать их процентные ставки, приведенные к одному и тому же вре-
менному периоду. Как правило, в качестве такого периода выбирается год.
Пример 3
Сравнить, какой из банковских вкладов выгоднее:
а) вложение 1000 рублей в банк на месяц под 3% в месяц;
б) вложение 500 рублей в банк на 6 месяцев под 12% за полгода.
Можно вычислить, каков доход в процентном выражении за месяц во вто-
ром случае, и сравнить с уже данным показателем в первом случае. Однако
традиционно в качестве такого периода берется один год.
При этом говорят, что ставка составляет Х процентов годовых.
Вычисление ставки в годовом исчислении можно производить по формуле
простого или сложного процента.
Пример 4
По банковскому вкладу ежеквартально начисляют 2% от первоначальной
суммы вклада. Найти годовую ставку процента.
Процентную ставку в периоде начисления умножают на число периодов в
году:
Годовая ставка процента = г х n = 2% х 4 квартала = 8% годовых
Пример 5
Вклад в банке дает 1% за 14 дней. Найти годовую ставку процента.
Годовая ставка процента (1% х 365 дней) / 14 дней = 26% годовых
ГОДОВАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА , РАСЧИТАННАЯ ПО ФОРМУЛЕ ПРОСТОГО ПРОЦЕНТА
В общем случае годовая процентная ставка без учета реинвестирования
вычисляется из формулы (4) простого процента:
FV = PV х (1 + nr),
откуда годовая ставка процента (6)
ГОДОВАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА, ВЫЧИСЛЕННАЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЛОЖНОГО ПРО-
ЦЕНТА
Если мы используем формулу сложного процента, то на единицу вложений
годовая процентная ставка (r годовая) составит (1 + процентная ставка в
периоде начисления в долях единицы (r) ), возведенная в степень, равную
числу периодов начисления (n), минус единица:
rгодовая = (1 + r)n - 1.
Пример 6
По банковскому вкладу ежеквартально начисляют доход 2% от первона-
чальной суммы вклада. Найти ставку процента (в годовых) с учетом реин-
вестирования полученного дохода.
rгодовая = (1 + 0,02)4 - 1 = 1,082432 - 1 = 0,0824.
Сравнивая результат примеров 1 и 3, можно сделать вывод, что при про-
чих равных условиях инвестирования годовая процентная ставка с учетом
реинвестирования выше.
В общем случае годовая процентная ставка с учетом реинвестирования
вычисляется из формулы (3) сложного процента: FV = PV x (1 + r)n откуда
годовая процентная ставка
(7)
ПРИВЕДЕНИЕ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК К ОДНОМУ ВРЕМЕННОМУ ПЕРИОДУ
С учетом необходимости приведения процентных ставок к одному времен-
ному периоду их общие формулы расчета видоизменяются в зависимости от
того, в каких единицах (днях, месяцах, кварталах) выражен период инвес-
тирования.
Например, если период инвестирования выражен в днях, то число перио-
дов n = 365/X, где X - число дней. По формуле (6) процентная ставка рав-
на:
По формуле (7) процентная ставка равна:
Будучи рассчитана на основе одного временного периода (т. е. n = 1),
формула приобретает совсем простой вид:
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием сложно-
го процента?
2. Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием просто-
го процента?
18.4 ПОНЯТИЕ О ДИСКОНТИРОВАНИИ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ
Под денежными потоками (для целей настоящей главы) мы понимаем доходы
(выплаты), получаемые в разное время инвестором от инвестиций в денежной
форме.
Техника дисконтирования, выражающаяся в приведении будущей стоимости
инвестиций к их текущей стоимости, позволяет сравнивать различные виды
инвестиций, сделанные в разное время на разных условиях.
Для того чтобы привести будущую стоимость инвестиции к ее текущей
стоимости, необходимо умножить на коэффициент дисконтирования (дисконти-
ровать) все денежные доходы, связанные с инвестицией, и суммировать по-
лученные величины.
Коэффициент дисконтирования (1 + r)-n или определяется с учетом до-
ходности по альтернативному вложению.
Пример 7
Необходимо принять решение о том, имеет ли смысл покупать облигацию
номиналом 10 000 руб. по цене 9 500 руб. с выплатой ежегодного купонного
8-процентного дохода и сроком погашения через 3 года, если ставка про-
цента в банке по вкладу сроком на 3 года составляет 10% годовых (10% -
это ставка доходности
по альтернативному вложению денег в банк).
Будущая стоимость
Дисконтирование
Настоящая
Выплат
по ставке
Стоимость
По облигации
Доходности
Денежных
Альтернативного вложения (10%)
Выплат Год 1
Купонный доход 800 руб. 800/1,1
727 руб.
Год 2
Купонный доход 800 руб. 800/1,12
661 руб.
Год 3
Купонный доход 800 руб. 800/1,13
601 руб.
Год З
Погашение облигаций по
номиналу 10 000 руб. 10 000/1,13
7 513 руб.
Итого текущая стоимость облигации PV = 9 502 руб.
Из вычислений, приведенных выше, видно, что при данных условиях при-
обретение облигации выгоднее, чем вложение денег в банк, так как ее те-
кущая стоимость выше, чем рыночная цена облигации (9 500 руб.).
Общая формула для расчета текущей стоимости инвестиции при условии
выплаты дохода без реинвестирования через равные промежутки времени и
возврата основной суммы в конце срока:
(8)
где
C1, C2, C3 - доход, начисленный (или купон, выплаченный) в конце пер-
вого, второго, третьего периодов,
Сn - доход, начисленный (или купон, выплаченный) в конце n-ого перио-
да,
FV - основная сумма вклада, выплаченная по окончании n-ого периода,
r - доходность по альтернативному вложению.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое денежные потоки ?
2. Для чего используется дисконтирование денежных потоков?
18.5 ВНУТРЕННЯЯ СТАВКА ДОХОДНОСТИ
ВНУТРЕННЯЯ СТАВКА ДОХОДНОСТИ
Иногда требуется решить обратную задачу: при какой процентной ставке
по данному вложению текущая стоимость вложения будет равна ее рыночной
стоимости? Для ответа на этот вопрос нужно решить уравнение (8) относи-
тельно r. Такое значение r называется внутренней (ибо не зависит от
внешних условий) ставкой доходности. Считается, что инвестиция тем вы-
годнее, чем выше ее внутренняя ставка доходности.
Пример 8
Облигация сроком 1 год погашается по номиналу, выплачивается ежегод-
ный купонный доход 8% номинала. Рыночная цена облигации - 98,18 номина-
ла. Найти внутреннюю ставку доходности по данному вложению.
Пусть номинал - 100, тогда
= 100 х 0,08 = 8,
= 100,
PV= 98,18,
a r предстоит найти. Подставляя полученные значения в формулу, полу-
чаем:
Отсюда:
1 + r = 108/98,18 = 1,1
и, наконец, внутренняя ставка доходности равна: г = 0,1 = 10%.
Пример 9
Найти внутреннюю ставку доходности для вложения 9 500 руб. на бан-
ковский вклад сроком на 3 года с выплатой 10% годовых без реинвестирова-
ния процентного дохода.
Где
PV = FV = 9 500,
C1 = C2 = Сз = 950.
Получаем уравнение:
Решая его относительно r , получим
r= 0,1 или 10%
Если мы найдем внутреннюю ставку доходности для облигации по условиям
Примера 7, то, решив уравнение
относительно r (r= 0,10011), мы можем убедиться, что внутренняя норма
прибыли для вложений в облигацию чуть выше, значит, они выгоднее, что
соответствует выводам, сделанным ранее.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое внутренняя ставка доходности?
2.Если внутренняя ставка доходности облигации составляет 12%, а про-
цент по банковскому вкладу 10%, какая из двух указанных инвестиций, на
ваш взгляд, выгоднее?
18.6 АННУИТЕТЫ
АННУИТЕТ
Аннуитет (иначе - рента) - регулярные, ежегодно поступающие платежи.
ДИСКОНТИРОВАНИЕ АННУИТЕТА
Дисконтирование аннуитета используется для оценки сегодняшней текущей
стоимости инвестиции, доход на которую будет одинаковым в течение долго-
го времени и должен выплачиваться с определенной (годовой) периодич-
ностью.
Пример 10 Год
Доход
1
30 000 руб.
2
30 000 руб.
3
30 000 руб.
В этом случае у нас имеется аннуитет 30 000 руб. в год в течение трех лет.
Применяя к таким выплатам обычную технику дисконтирования потоков
платежей при процентной ставке, равной 10%, получаем (предполагается,
что выплаты происходят в конце каждого года):
Год
Платежи
Коэффициент дисконтирования
Настоящая стоимость 1
30 000 руб. l/(1+0,1) = 0,9091
27 273 руб.
2
30 000 руб. l/( l+0,l)2 = 0,8264
24 792 руб.
3
30 000 руб. 1/(1+0,1)3 = 0,7513
22 539 руб.
Текущая стоимость 74 604 руб.
Текущая стоимость потока платежей 74 604 руб.
Из вычислений видно, что мы каждый раз умножали коэффициент дисконти-
рования на одну и ту же величину -
30 000.
Получим:
где величина 2,4868 является коэффициентом дисконтирования аннуитета
Ar.
Для экономии времени коэффициент дисконтирования аннуитета AR может
быть вычислен по формуле суммы членов геометрической прогрессии со зна-
менателем геометрической прогрессии 1/(1 + г):
где:
r - процентная ставка за период (см. условия примера),
n- число периодов.
Используя эту формулу, можно рассчитать 3-летний коэффициент дискон-
тирования аннуитета при процентной ставке 10%:
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое рента (аннуитет)?
2. Для чего используется дисконтирование аннуитета?
3. Каким образом при вычислении коэффициента дисконтирования аннуите-
та можно использовать формулу суммы геометрической прогрессии?
18.7 РАСЧЕТ ТЕКУЩЕЙ СТОИМОСТИ ДЛЯ ПОТОКОВ ПЛАТЕЖЕЙ, НАЧИНАЮЩИХСЯ В
МОМЕНТ ВРЕМЕНИ, НА КОТОРЫЙ РАССЧИТЫВАЕТСЯ ТЕКУЩАЯ СТОИМОСТЬ ИНВЕСТИЦИИ
В обычных случаях мы полагали, что первая выплата отстоит от времени,
на которое рассчитывается текущая стоимость, на 1 временной период, нап-
ример, произойдет через год или месяц. Возможны, однако, ситуации, когда
первый платеж приходит в тот момент, на который рассчитывается текущая
стоимость инвестиций.
Пример 11:
облигация, приобретенная за 1000 рублей, приносит купонный доход 8%
ежегодно, первая купонная выплата производится в момент сразу после при-
обретения. Срок до погашения 3 года. Найти текущую стоимость на момент
приобретения облигации.
Год
Платежи
Коэффициент дисконтирования
Текущая стоимость 0
80 руб.
1
80 руб.
1
80 руб.
1/1,08
74,07 руб.
2
1080 руб.
1/1,082
925,93 руб.
Общая текущая стоимость 1080 руб.
Общая формула для расчета текущей стоимости денежных потоков при ус-
ловии получения первого платежа в момент, на который рассчитывается нас-
тоящая стоимость, принимает вид:
где
С0 - первый платеж, не дисконтированный, поскольку он получен в мо-
мент времени, на который рассчитывается текущая стоимость.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
начисляется и выплачивается заемщиком, но не изымается кредитором, а ос-
тается у заемщика, увеличивая сумму займа.
Естественно, эта схема подвергает кредитора большему риску, соот-
ветственно он получает и большее вознаграждение.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое процент?
2. Какая схема начисления соответствует случаю, когда доход от вклада
периодически выплачивается заемщиком и тут же изымается кредитором?
18.2 ИЗМЕНЕНИЕ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ ВО ВРЕМЕНИ
При размещении свободных средств в разные ценные бумаги инвестор
стремится получить максимальную выгоду. Для того, чтобы выбрать опти-
мальный способ инвестирования, необходимо сравнить полученные доходы.
Однако доходы могут поступать в разное время.
ПРИВЕДЕНИЕ ДЕНЕЖНЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ К ОДНОМУ И ТОМУ ЖЕ МОМЕНТУ ВРЕМЕНИ
Естественным способом сравнивать денежные поступления в разные сроки
является приведение их к одному и тому же моменту времени.
Как правило, в качестве такого момента выбирают или момент начала ин-
вестиций, или некоторый фиксированный момент в будущем.
ДИСКОНТИРОВАНИЕ и НАРАЩЕНИЕ
Приведение денежных потоков к начальному моменту называется дисконти-
рованием, а к моменту в будущем - наращением.
БУДУЩАЯ СТОИМОСТЬ
В Примере 2 общая сумма денежных средств на счете по окончании
третьего года (1331) называется будущей стоимостью 1000 рублей, инвести-
рованных на 3 года; по ставке 10%, начисляемых ежегодно; при условии ре-
инвестирования процента.
ТЕКУЩАЯ СТОИМОСТЬ
Изначальная стоимость инвестиции 1000 рублей называется текущей стои-
мостью 1331 рубля, которые будут выплачены (или получены) через 3 года;
исходя из ставки 10%, начисляемых ежегодно; при условии реинвестирова-
ния.
Расчет, как мы помним, производился следующим образом:
1000 х (1 + 0,1) х (1 + 0,1) х (1 + 0,1) = 1000 х (1,1)3
При начислении сложного процента мы находим будущую стоимость путем
умножения текущей стоимости на (1+ ставка процента в периоде начисления
в долях единицы) столько раз, сколько начислялся процент. Теперь мы мо-
жем вывести формулу для расчета будущей стоимости денег, инвестированных
на определенный срок под определенный процент с условием реинвестирова-
ния процента.
Формула для расчета по схеме сложного процента имеет следующий вид:
FV = PV х (1 + r)n, (3)
где
FV - будущая стоимость (future value),
PV - текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестиро-
вания = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании)
(present value),
r - ставка процента в периоде начисления в долях единицы (rate),
n - число периодов начисления.
КОЭФФИЦИЕНТ НАРАЩЕНИЯ
Выражение (1 + r)n называется коэффициентом наращения.
Расчет будущей стоимости при использовании формулы сложного процента
называется наращением.
Расчет будущей стоимости в Примере 1, как мы помним, производился
следующим образом:
1000 + 1000 х 0,1 +1000 х 0,1+1000 х 0,1 = 1000 х (1+0,1 х 3)
При начислении простого процента мы находим будущую стоимость путем
умножения текущей стоимости на (1+ ставка процента в периоде начисления
в долях единицы, умноженная на количество периодов начисления).
Формула для расчета по схеме простого процента имеет следующий вид:
FV = PV х (1 + n r), (4)
где
FV - будущая стоимость,
PV - текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестиро-
вания = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),
r - ставка процента в периоде начисления в долях единицы,
n- число периодов начисления.
В случае одного периода (n = 1) формулы (3) и (4) совпадают, т. к. в
случае одного временного интервала реинвестирования не происходит и ус-
ловия заимствования фактически совпадают:
FV = PV х (1+г)
Дисконтирование - это расчет, обратный наращению. При дисконтировании
мы узнаем, сколько сейчас (в момент расчета) стоит известная в будущем
стоимость денег. Этот пересчет к настоящему моменту позволит сравнивать
разные суммы в разные времена. Таким образом, при дисконтировании мы на-
ходим текущую стоимость путем деления известной будущей стоимости на (1
+ ставка процента) столько раз, на сколько раз начисляется процент.
(5)
где
FV - будущая стоимость,
PV - текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестиро-
вания = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),
r - ставка процента в периоде начисления в долях единицы, n- число
периодов начисления.
КОЭФФИЦИЕНТ ДИСКОНТИРОВАНИЯ
Выражение ИЛИ
называется коэффициентом дисконтирования. Он равен величине, обратной
величине коэффициента наращения.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Как называется расчет, результатом которого является приведение
денежных потоков к начальному моменту времени?
2. Как называется коэффициент, обратный коэффициенту дисконтирования?
18.3 РАСЧЕТ ГОДОВЫХ СТАВОК ПРОЦЕНТА
Очевидно, что при одинаковых условиях (одинаковый срок, простой или
сложный процент) выгоднее та инвестиция, у которой выше процентная став-
ка. Однако зачастую сроки инвестиций и периоды выплат по ним не совпада-
ют. В этом случае для того, чтобы сравнивать инвестиции, необходимо
рассчитывать их процентные ставки, приведенные к одному и тому же вре-
менному периоду. Как правило, в качестве такого периода выбирается год.
Пример 3
Сравнить, какой из банковских вкладов выгоднее:
а) вложение 1000 рублей в банк на месяц под 3% в месяц;
б) вложение 500 рублей в банк на 6 месяцев под 12% за полгода.
Можно вычислить, каков доход в процентном выражении за месяц во вто-
ром случае, и сравнить с уже данным показателем в первом случае. Однако
традиционно в качестве такого периода берется один год.
При этом говорят, что ставка составляет Х процентов годовых.
Вычисление ставки в годовом исчислении можно производить по формуле
простого или сложного процента.
Пример 4
По банковскому вкладу ежеквартально начисляют 2% от первоначальной
суммы вклада. Найти годовую ставку процента.
Процентную ставку в периоде начисления умножают на число периодов в
году:
Годовая ставка процента = г х n = 2% х 4 квартала = 8% годовых
Пример 5
Вклад в банке дает 1% за 14 дней. Найти годовую ставку процента.
Годовая ставка процента (1% х 365 дней) / 14 дней = 26% годовых
ГОДОВАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА , РАСЧИТАННАЯ ПО ФОРМУЛЕ ПРОСТОГО ПРОЦЕНТА
В общем случае годовая процентная ставка без учета реинвестирования
вычисляется из формулы (4) простого процента:
FV = PV х (1 + nr),
откуда годовая ставка процента (6)
ГОДОВАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА, ВЫЧИСЛЕННАЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЛОЖНОГО ПРО-
ЦЕНТА
Если мы используем формулу сложного процента, то на единицу вложений
годовая процентная ставка (r годовая) составит (1 + процентная ставка в
периоде начисления в долях единицы (r) ), возведенная в степень, равную
числу периодов начисления (n), минус единица:
rгодовая = (1 + r)n - 1.
Пример 6
По банковскому вкладу ежеквартально начисляют доход 2% от первона-
чальной суммы вклада. Найти ставку процента (в годовых) с учетом реин-
вестирования полученного дохода.
rгодовая = (1 + 0,02)4 - 1 = 1,082432 - 1 = 0,0824.
Сравнивая результат примеров 1 и 3, можно сделать вывод, что при про-
чих равных условиях инвестирования годовая процентная ставка с учетом
реинвестирования выше.
В общем случае годовая процентная ставка с учетом реинвестирования
вычисляется из формулы (3) сложного процента: FV = PV x (1 + r)n откуда
годовая процентная ставка
(7)
ПРИВЕДЕНИЕ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК К ОДНОМУ ВРЕМЕННОМУ ПЕРИОДУ
С учетом необходимости приведения процентных ставок к одному времен-
ному периоду их общие формулы расчета видоизменяются в зависимости от
того, в каких единицах (днях, месяцах, кварталах) выражен период инвес-
тирования.
Например, если период инвестирования выражен в днях, то число перио-
дов n = 365/X, где X - число дней. По формуле (6) процентная ставка рав-
на:
По формуле (7) процентная ставка равна:
Будучи рассчитана на основе одного временного периода (т. е. n = 1),
формула приобретает совсем простой вид:
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием сложно-
го процента?
2. Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием просто-
го процента?
18.4 ПОНЯТИЕ О ДИСКОНТИРОВАНИИ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ
Под денежными потоками (для целей настоящей главы) мы понимаем доходы
(выплаты), получаемые в разное время инвестором от инвестиций в денежной
форме.
Техника дисконтирования, выражающаяся в приведении будущей стоимости
инвестиций к их текущей стоимости, позволяет сравнивать различные виды
инвестиций, сделанные в разное время на разных условиях.
Для того чтобы привести будущую стоимость инвестиции к ее текущей
стоимости, необходимо умножить на коэффициент дисконтирования (дисконти-
ровать) все денежные доходы, связанные с инвестицией, и суммировать по-
лученные величины.
Коэффициент дисконтирования (1 + r)-n или определяется с учетом до-
ходности по альтернативному вложению.
Пример 7
Необходимо принять решение о том, имеет ли смысл покупать облигацию
номиналом 10 000 руб. по цене 9 500 руб. с выплатой ежегодного купонного
8-процентного дохода и сроком погашения через 3 года, если ставка про-
цента в банке по вкладу сроком на 3 года составляет 10% годовых (10% -
это ставка доходности
по альтернативному вложению денег в банк).
Будущая стоимость
Дисконтирование
Настоящая
Выплат
по ставке
Стоимость
По облигации
Доходности
Денежных
Альтернативного вложения (10%)
Выплат Год 1
Купонный доход 800 руб. 800/1,1
727 руб.
Год 2
Купонный доход 800 руб. 800/1,12
661 руб.
Год 3
Купонный доход 800 руб. 800/1,13
601 руб.
Год З
Погашение облигаций по
номиналу 10 000 руб. 10 000/1,13
7 513 руб.
Итого текущая стоимость облигации PV = 9 502 руб.
Из вычислений, приведенных выше, видно, что при данных условиях при-
обретение облигации выгоднее, чем вложение денег в банк, так как ее те-
кущая стоимость выше, чем рыночная цена облигации (9 500 руб.).
Общая формула для расчета текущей стоимости инвестиции при условии
выплаты дохода без реинвестирования через равные промежутки времени и
возврата основной суммы в конце срока:
(8)
где
C1, C2, C3 - доход, начисленный (или купон, выплаченный) в конце пер-
вого, второго, третьего периодов,
Сn - доход, начисленный (или купон, выплаченный) в конце n-ого перио-
да,
FV - основная сумма вклада, выплаченная по окончании n-ого периода,
r - доходность по альтернативному вложению.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое денежные потоки ?
2. Для чего используется дисконтирование денежных потоков?
18.5 ВНУТРЕННЯЯ СТАВКА ДОХОДНОСТИ
ВНУТРЕННЯЯ СТАВКА ДОХОДНОСТИ
Иногда требуется решить обратную задачу: при какой процентной ставке
по данному вложению текущая стоимость вложения будет равна ее рыночной
стоимости? Для ответа на этот вопрос нужно решить уравнение (8) относи-
тельно r. Такое значение r называется внутренней (ибо не зависит от
внешних условий) ставкой доходности. Считается, что инвестиция тем вы-
годнее, чем выше ее внутренняя ставка доходности.
Пример 8
Облигация сроком 1 год погашается по номиналу, выплачивается ежегод-
ный купонный доход 8% номинала. Рыночная цена облигации - 98,18 номина-
ла. Найти внутреннюю ставку доходности по данному вложению.
Пусть номинал - 100, тогда
= 100 х 0,08 = 8,
= 100,
PV= 98,18,
a r предстоит найти. Подставляя полученные значения в формулу, полу-
чаем:
Отсюда:
1 + r = 108/98,18 = 1,1
и, наконец, внутренняя ставка доходности равна: г = 0,1 = 10%.
Пример 9
Найти внутреннюю ставку доходности для вложения 9 500 руб. на бан-
ковский вклад сроком на 3 года с выплатой 10% годовых без реинвестирова-
ния процентного дохода.
Где
PV = FV = 9 500,
C1 = C2 = Сз = 950.
Получаем уравнение:
Решая его относительно r , получим
r= 0,1 или 10%
Если мы найдем внутреннюю ставку доходности для облигации по условиям
Примера 7, то, решив уравнение
относительно r (r= 0,10011), мы можем убедиться, что внутренняя норма
прибыли для вложений в облигацию чуть выше, значит, они выгоднее, что
соответствует выводам, сделанным ранее.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое внутренняя ставка доходности?
2.Если внутренняя ставка доходности облигации составляет 12%, а про-
цент по банковскому вкладу 10%, какая из двух указанных инвестиций, на
ваш взгляд, выгоднее?
18.6 АННУИТЕТЫ
АННУИТЕТ
Аннуитет (иначе - рента) - регулярные, ежегодно поступающие платежи.
ДИСКОНТИРОВАНИЕ АННУИТЕТА
Дисконтирование аннуитета используется для оценки сегодняшней текущей
стоимости инвестиции, доход на которую будет одинаковым в течение долго-
го времени и должен выплачиваться с определенной (годовой) периодич-
ностью.
Пример 10 Год
Доход
1
30 000 руб.
2
30 000 руб.
3
30 000 руб.
В этом случае у нас имеется аннуитет 30 000 руб. в год в течение трех лет.
Применяя к таким выплатам обычную технику дисконтирования потоков
платежей при процентной ставке, равной 10%, получаем (предполагается,
что выплаты происходят в конце каждого года):
Год
Платежи
Коэффициент дисконтирования
Настоящая стоимость 1
30 000 руб. l/(1+0,1) = 0,9091
27 273 руб.
2
30 000 руб. l/( l+0,l)2 = 0,8264
24 792 руб.
3
30 000 руб. 1/(1+0,1)3 = 0,7513
22 539 руб.
Текущая стоимость 74 604 руб.
Текущая стоимость потока платежей 74 604 руб.
Из вычислений видно, что мы каждый раз умножали коэффициент дисконти-
рования на одну и ту же величину -
30 000.
Получим:
где величина 2,4868 является коэффициентом дисконтирования аннуитета
Ar.
Для экономии времени коэффициент дисконтирования аннуитета AR может
быть вычислен по формуле суммы членов геометрической прогрессии со зна-
менателем геометрической прогрессии 1/(1 + г):
где:
r - процентная ставка за период (см. условия примера),
n- число периодов.
Используя эту формулу, можно рассчитать 3-летний коэффициент дискон-
тирования аннуитета при процентной ставке 10%:
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое рента (аннуитет)?
2. Для чего используется дисконтирование аннуитета?
3. Каким образом при вычислении коэффициента дисконтирования аннуите-
та можно использовать формулу суммы геометрической прогрессии?
18.7 РАСЧЕТ ТЕКУЩЕЙ СТОИМОСТИ ДЛЯ ПОТОКОВ ПЛАТЕЖЕЙ, НАЧИНАЮЩИХСЯ В
МОМЕНТ ВРЕМЕНИ, НА КОТОРЫЙ РАССЧИТЫВАЕТСЯ ТЕКУЩАЯ СТОИМОСТЬ ИНВЕСТИЦИИ
В обычных случаях мы полагали, что первая выплата отстоит от времени,
на которое рассчитывается текущая стоимость, на 1 временной период, нап-
ример, произойдет через год или месяц. Возможны, однако, ситуации, когда
первый платеж приходит в тот момент, на который рассчитывается текущая
стоимость инвестиций.
Пример 11:
облигация, приобретенная за 1000 рублей, приносит купонный доход 8%
ежегодно, первая купонная выплата производится в момент сразу после при-
обретения. Срок до погашения 3 года. Найти текущую стоимость на момент
приобретения облигации.
Год
Платежи
Коэффициент дисконтирования
Текущая стоимость 0
80 руб.
1
80 руб.
1
80 руб.
1/1,08
74,07 руб.
2
1080 руб.
1/1,082
925,93 руб.
Общая текущая стоимость 1080 руб.
Общая формула для расчета текущей стоимости денежных потоков при ус-
ловии получения первого платежа в момент, на который рассчитывается нас-
тоящая стоимость, принимает вид:
где
С0 - первый платеж, не дисконтированный, поскольку он получен в мо-
мент времени, на который рассчитывается текущая стоимость.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54