ставка процента, дисконт, дисконтирование, настоящая стои-
мость, будущая стоимость, аннуитет.
Ключевое положение в большинстве коммутационных моде-
лей занимает ставка процента. В рамках настоящего анализа
она рассматривается не как категория денежного рынка, а как
прикладной элемент всех финансовых расчетов, которым она
становится в силу следующих причин. Дело в том, что ставка
В написании данной главы принимал участие Д. В. Печалов.
процента играет в рыночной экономике специфическую роль,
осуществляя перераспределения ресурсов <сквозь призму вре-
мени>. То есть она информирует о том, в каких пропорциях
соотносится обмен одноименными благами между различными
временными промежутками.
Практическая роль процентной ставки тесно связана с таки-
ми категориями, как потребление и накопление. Владелец до-
хода имеет возможность выбора: использовать ли его в данный
момент или передать в кредит другому, рассчитывая получить
амортизацию долга плюс процент. В таком случае процент вы-
ступает специфической ценой услуги, связанной с отказом от
потребления. С позиции сегодняшнего дня он показывает на-
стоящую стоимость будущего дохода. Ставка процента есть
специфический инструмент, позволяющий перераспределять
денежные фонды между настоящим и будущим.
Расчет дохода по простым процентам
В финансовых вычислениях процентом называется
прибыль на отданный в ссуду капитал, т.е. денежную величину
в ее абсолютном выражении. Отношение процента к ссужен-
ному капиталу, выраженное в сотых долях последнего, называ-
ется процентной ставкой. Она имеет две формы выражения.
Процентную ставку можно представить как 5% или 0,05 в фи-
нансовых расчетах применяют, как правило, вторую форму за-
писи,
При определении процентных платежей используются два
основных понятия настоящая стоимость вклада
(Ргевепi Уаiие - РУ) и будущая стоимость (Риiиге
Уаiие - РУ), т. е. стоимость вклада (кредита) с учетом присое-
диненных процентных платежей. Смысл финансовых вычисле-
ний состоит в том, чтобы по известной настоящей стоимости
определить будущие размеры выплат и наоборот, зная буду-
щую стоимость вычислить настоящую стоимость, они связаны
между собой процентом. В первом случае на нынешнюю стои-
мость начисляется процентная ставка, во втором, с будущей
стоимости вычитается дисконтная (учетная) ставка. В первом
случае процент подлежит оплате в конце установленного срока
кредита, во втором, - процент выплачивается перед установ-
ленным сроком.
Финансовая математика занимается расчетом простых и
сложных процентов. Простым процентом называется про-
цент, который начисляется по первоначальному вкладу в конце
одного банковского срока. Стандартным сроком является год,
однако может быть один, три и шесть месяцев в зависимости
от условий договора. Момент времени, к которому приурочено
начисление процентов, называется периодом начисления. Он
может быть как равным, так и меньше банковского срока.
Для расчета простого процента используется формула:
=Р п i (1)
где: 3 (Iпiегевi.) - процент; i (гаiе оi Iп1.еге5Є.) - ставка про-
цента; п - срок кредита; Р (Ргiпсiраi) - первоначальный кре-
дит (вклад).
Пример 1: Найти процент по вкладу в 2.000 ден. ед., предо-
ставленного на год из расчета 5,5 %.
Решение: = 2.000 1 0,055 = 110 ден. ед.
Формула (1) является основой для определения общей вели-
чины выплат с учетом начисленных процентов -5 (5ит).
5 = Р+Р-п i= Р(1 + пi) (2)
Пример 2: Какой процент следует выплатить по кредиту в
2.000 ден. ед., взятому в банке на 10 лет при ежегодной
ставке 8% и какова общая сумма выплат за 10 лет?
Решение: = 2000 1 0,08 = 160 ден. ед. (ежегодно)
ЛО = 2000 10 - 0,08 = 1600 ден. ед. (за 10 лет).
Весь кредит, взятый на 10 лет при ставке в 8 % обойдется
заемщику в 2000 (амортизация долга) +1600 (процен-
ты) = 3600 ден. ед.
Приведенная выше формула является наипростейшей.
Сложности связаны с тем, что фактический срок кредита не
совпадает со стандартным периодом начисления, тогда в фор-
муле учитывается соотношение этих величин.
Пример 3: Какова величина купонного платежа по облига-
ции номиналом в 500 ден. ед. при годовом проценте 0,05 и
если платеж осуществляется два раза в год.
Решение: = 500 1/2- 0,05 = 12.5 ден. ед.
Пример 4: Какова величина процента по кредиту в 1.000.000
ден. ед., взятого у банка на 1 день при трехмесячной ставко
равной 9 % ?
Решение: 8 = 1.000.000 1/90 0,09 = 1.000 ден. ед.
Финансовая практика имеет дело и с решением обратных
задач, связанных с дисконтированием, когда процент удержи-
вается при выдаче кредита,
Для определения величины дисконта восполь.уомся форму-
лой (2):
О = 8-Р=8-8/ (1 + пi) = 5- пi / (1 + пi) (3)
Пример 5: Канова должна быть сумма вл\сiда. чтобы при
проспгььх процентах по ставке равно 0.05 через два года по-
лучить 22.000 ден. ед.
Решение: Р = 22.000 /(1+2- 0,05)= 20.000 ден. сд.
Приведенная выше формула (3) представляет собой матема-
тический расчет дисконта. В банковских расчетах используется
также специальная учетная ставка - (3
и-о-Р-о п- а.
Отсюда:
Р = 5- 5пгi (4)
Пример 6: Учесть 3.000 ден. ед. за два года до срока из про-
стых процентов. Учетная ставка (1 = 0,05.
Решение: Р = 3.000 (I - 2 0,05) = 2.700 ден. ед.
Пример 7: Выдан вексель на сумму 3.000 ден. уi{. с уплатой
28/IУ. Владелец учел его в банке Ю/1У. Учетная ставка -
6%. Необходимо найти полученную при учете векселя сум-
му.
Решение: Р = 3.000 (1 - (18 / 360 0,06 = 2.991 ден. ад.
Номинальная и реальная
процентные ставки
Оанковская практика широко имеет дело с
номинальным и реальным процентом. Очевидно,
что владелец вклада в 100 долл. при ставке в 10% получит через
год 110 долл., но это совсем не обозначает, что товарный экви-
валент дохода кредитора также возрастет на 10%. Все зависит
от того, как изменились за это время цепы. Поэтому в банков-
процентная ставка. Первая выражается в текущих денежных
единицах, а вторая определяется через сравнивание томрпьiх
эквивалентов между собой. Поэтому, если берется кредит в
100 долл. на год под реальную процентную ставку в 10%, то
кредитор получит денежную сумму отнюдь не равную 100 долл.
Наоборот, платеж будет совершаться в таком денежном объе-
ме, который будет достаточен для покупки на 10% больше това-
ров и услуг, чем на первоначальные 100 долл. годом позже.
Для расчета реальной процентной ставки, исходя из номи-
нального процента и динамики цен, следует привести к сопо-
ставимости величины, обращающиеся в разные периоды време-
ни. Следует найти соответствие величины i (номинальный про-
цент) в период п и величины К (реальный процент) в период
п+1, в течение которого произошло изменение цен Р (годовой
прирост цен в процентах).
Номинальный доход кредитора в период п + 1:
М - Мд -є- i Мд = Мд(1 + i)
Реальный доход кредитора в период п -1- 1:
М, = Мо + К М" = Мд(1 + К)
Прирост дохода в первом случае
М/Мд = (1+i); во втором - М,/Мд = (1+К).
составляет
Итак, реальная ставка процента в течение второго iода была
выше, а средний реальный процент в течение двух лет будт
равен (6,67% + 7,43%) : 2 = 7,05%
Пример 2: Допустим, что вы решили на 1 год вложить
деньги в оанк при реальной ставке процента Ю %, то есть
желаете через год получить в виде товаров и услуг на 10%
больше.
Вопрос: при какой номинальной ставке процента вам следу-
ет делать такой вклад, если вы ожидаете через год повы-
шения цен на 3,8%?
Решение:
- и.ши ч- и, 6
{и.ШО) (0,038) = 0,1418 или 14.18%
Последующие преобразования дают следующий результат
(М / Мо )/(Мi / Мо ) = (1 + i) / (1 + К) = (1 + Р)
где (1 + Р) означает фактическое увеличение цен в период
п+1 по отношению к п - принятых за единицу.
(1 + i) = (1 + К) (1 + Р) или (1 + i) = 1 + Р + К + КР.
i = 1 + Р + К + КР - I,
Отсюда получаем базовую формулу для расчета реального
процента;
i=Д+Р+РР (5)
Пример 1: Допустим, в прошлом году темп роста цен
составил 5 %. В этом году вы ожидаете уменьшения этого
роста до 4,25 % в год. Ставка банковского процента по ва-
шему двухгодичному вкладу, сделанному в начале прошлого
годе не менялась (по условиям договора) и была равной 12 %.
Вопрос: как изменился уровень реального процента за этот
промежуток времени?
Решение: Рассчитаем реальную процентную ставку
для первого и второго годов:
К (первый год) = (I-Р) / (1+Р) = (0.12-0.05)/(1-ГО.05) =6.67%
К (второй год) = (0.12-0.0425) / (1+0.0425) == 0,0743 =7.43%
Расчеты дохода при сложных процентах.
Сложным процентом называется сумма, которая
образуется в результате процентного нарастания на весь срок
кредита. Иными словами, при сложных процентах сумма дохо-
да не выплачивается, а присоединяется к вкладу и в последую-
щее время сама приносит процент.
Для расчета сложных процентов применяется формула (2).
Если банковский период и срок нарастания совпадают Друг с
другом, то п = 1 и процент к концу первого периода раве.н Р п.
Для второго года полученный по первоначальному зкладу
процент сам становится вкладом.
;I) + (РО + РОХI = РО(I +I)+РО
1(1 + i)
второй год
52 = (РО + РО
первый год
= (1 + i)(1 + i) Р" = Р"(1 + i)2
Для третього периода года результаты .будут выглядеть сле-
дующим образом:
i)2 i = Р"(1 + i+i+
1)3
53 = ( + РО-I) + о + РО-I)- = РО(I + Ц
+ i 212 + i3) = р(i + Зi + 312 + i3) = р(i + i)з
п к,....-. -
.--.., Iд
В общем виде формула выглядит:
ЗРI+I)"
где (I+i)- множитель нарастания, а п
ков нарастания.
(6)
количестве сро-
Пример 1: Найти будущую стоимость срочного вклада в
10.000 ден. ед., помещенного на 3 го(}а при срочной процент-
ной ставке 0,05.
Решение: 53 = 10.000 1,053 = 11.576,25 ден. ед.
Для облегчения расчетов можно использовать логарифмиро-
вание:
1д5з = 31д1,05 + 4
Схематически нарастание сложных процентов можно пред-
ставить следующим образом:
10,000 ден. ед. - настоящая стоимость срочного вклада
+
500 ден. ед. - процент согласно ставке 0,05,
10.500 ден. ед. - итог первого года
+
525 ден. ед. - процент согласно ставке 0,05
11,025 ден. ед. - итог второго года
+
551,25 ден. ед. - процент согласно ставке 0,05
11.576,25 ден. ед, - будущая стоимость срочного вклада,
Пример 2: Определить будущую стоимость 100 ден. ед. че-
рез 200 лет по сложной процентной ставке 0,06.
Решение: 5200 = ЮО (1.06) = 11.512.2 ден. ед.
Если период срока кредита (п) не совпадает с числом нара-
стания процентной ставки (т), то формула (6) примет вид
= РО(I+
Пример 3: Найти будущую стоимость 10.000 ден. ед., вло-
женных при годовой ставке 8% на 10 лет при нарастании
четыре раза в год.
Решение: 510 = 10.000 - (1 + 0.08/4) = 22.0.08,3
Приведенная выше формула для расчета сложных процен-
тов (6) является отправной для вычисления дисконтной
ставки при сложных процентах.
= 5" / (1 + = 8
где У" = 1/ (1 + i) называется учетным множителем.
Пример 4: Сколько денег следует поместить в банк, чтобы
через 15 лет получить 10.000 ден. ед.., если процентная
ставка (сложная) равна 0,05?
Решение:
Если число нарощение не равно банковскому сроку, то фор-
мула (8) принимает вид:
Р=5ц/(1+ i/т)T
Для упрощения банковских вычислений существуют специ-
альные математические таблицы процентных множителей, со-
ставленных применительно к 1 ден. ед, С их помощью вычисле-
ние будущей (настоящей) цены вклада сводится к умножению
числа, взятого из таблицы, на величину настоящей (будущей)
стоимости вклада,
Для расчета будущей стоимости при сложных процентах ис-
пользуется таблица <Риiиге Уаiие Iпiегеяi Расiоге> (РУIР), где
приводится ряд целочисленных значений множителя (1 + i)"=В.
В расчетах настоящей стоимости применяется таблица <Ргеяепi.
Уаiие Iпiегевi Расiога> (РУIР), используется множитель
1/(1+i)=УЇ
Эти множители помещены в таблице 12.1 (РУIР - первый
столбец), (РУТР - второй столбец).
п = РО РУп (10)
Рп = 5п РУIР (II)
Пример 5: Кокова величина вклада в 2.000 ден. ед., помещен-
ных при сложной ставко 8% на 5 лет?
Решение: РУ = 2.000 1.46933 = 2.938.66 ден. ед.
где 1,46933 - число найденное при пересечении i = 8 и п = 5.
Пример 6: Через 15 лет фирма хочет обладать суммой в
100.000 ден. ед., необходимой ей для покупки нового оборудо-
вания. Ставка сложного процента равна 12 %. Какую сумму
необходимо поместить в банк, чтобы через нужный срок
получить требуемую величину?
Решение: РУц = 100.000 0.18270 = 18.270 ден. ед.
Пример 7: Вклад в 5.000 ден. ед. к концу 8 года по сложным
процентам превратился в 5.858,3 ден. ед. Какова величина
процентной ставки?
5ц : РО = 5.858,3 : 5.000 = I.Є7166
Найдем данное число в таблице РУIР против п = 8. Эта ве-
личина соответствует 2%.
При расчете процентных платежей с помощью таблиц осо-
бое внимание следует уделить правильности выбора срока пе-
риода.
Пример 8: Найти настоящую стоимость 2,500 ден. ед., по-
лученных через три. года после того, как они пролежали в
банке при ежемесячной ставке процента 1 % (процент
сложный).
В данном примере приведена лишь ежемесячная процентная
ставка. В перерасчете на год она составит 12%. кроме то-
го, чис.по нарастаний будет ровно и. для рисчити лсуусiи
воспользоваться формулой (9).
Решение: РУ = 8 / (I+i/т = 2.500 0,71178 = 1.779,45
ден- ед-
Еще одна трудность возникает при работе с нецелочислен-
ными значениями процентной станки i и периода п. Для этого
используется спосой <пропорциональности частей>, согласно
которому разность будущих множителей прямо пропорцио-
нальна разности процентов.
Пример 9: Во что обратится банковский вклад размером в
2.000 ден. ед. при сложной процентной ставке равной 0,02 к
концу 81/4 лет?
Решение: В таблице 12.1 нет значения множит для пери-
ода времени, равного 8 1/4. Поэтому необходимо рассчи-
тать вклад по срочной процентной ставке на 8 лет и на
полученный результат добавить простой процент за 1/4
года.
РУц = 2.000 1.02 = 2.000 1,17166 = 2.343.32 ден. ед.
РУц =2.343,32 + (2.343,32 0,25 0,02) = 2343 ,32 + 11,72 =2.
2;81,
355,04
ден. ед.
Аннуитет
Аннуитет (Аппщiу) или долгосрочная финан-
совая рента представляет собой равновеликие платежи (посту-
пления), которые производятся (получаются) в равные проме-
жутки времени в течение датированного временного периода,
Каждый отдельный платеж, входящий в состав аннуитета, на-
зывается его членом,
К таким видам финансовых рент относят периодические по-
гашения кредита по компенсационным соглашениям, создание
амортизационного фонда, взносы по страхованию, выплаты
долга и т.д.
Вычисление аннуитета связано с решением двух ТЯПОБ за-
дач. Если момент оценки предшествует моменту платежа пер-
вого члена или совпадает с ним, то величина финансовой рен-
ты представляет результат учета всех ее членов и будет назы-
ваться настоящей стоимостью аннуитета.
Если момент оценки совпадает с моментом платежа послед-
него члена, то стоимость ренты представляет результат наро-
щения всех ее членов и будет называться будущей стоимостью
аннуитета.
Для определения настоящей и будущей стоимости аннуитета
соответственно, используются множители:
а = (1-У)/i = (1-(1+i))Ї/i - множитель процентного факто-
ра для настоящей стоимости аннуитета.
Здi = ((I+i)" - 1)/i - множитель процентного фактора для бу-
дущей стоимости аннуитета.
В современной литературе множитель Ад чаще всего обоз-
начается как РУIРА.д, а 5д/д = РУТРА.д , где - купонная
ставка, Исходя из этого формулы для расчетов аннуитета при-
нимают следующий вид:
Ад/, = К а/i или РУ = а РУIРА.д (12)
п/i = г - 5п/i или РУ = а- РУIРА (IЗ)
где: К и а- величина ренты (аннуитета); i и Ь. - купонный
процент.
Пример 1: Вкладник желает иметь в течение трех лет еже-
годный доход в 1.000 ден. ед. Ставка процента 0,05. Какова
настоящая стоимость аннуитета?
Решение: Необходимо по таблице 12.1 (четвертый столбец)
найти величину Ап(РУIРА) при пересечении 5 % и периода 3
и умножить на число ренты К(а), равному 1.000 ден. ед.
АЗ/Э = 1-000 2,7232 = 2723,25 ден. ед.
Вот как выглядит это решение по времени:
2.273,25 ден. ед. - настоящая стоимость аннуитета
136,16 деч. ед. -5% платежа первого года

РУ,
1.000 РУ1Р0.5;12 = 1.000 1.06167 = 1.061.67.
0.5:12
Общая сумма к концу года составит 3.373,98 +1.061,67
4.434,65 ден. ед.
2.859,41 ден. ед. - итог первого года
- 1.000 ден. ед. - выплата в первом году
1.859.41 ден. ед. - величина вклада начала второго года
+ 92,97 ден. ед. - 5 % платежа второго года
1.952,38 ден. ед. - величина вклада в конце второго года
- I.пПП При РП - ВГОГ В" т"п" тг""
952,38 ден. ед. - итог второго года
+ 47,63 ден. ед. - 5 % платежа третьего года
1.000 ден. ед. - величина вклада конца третього года
- 1.000 ден. ед. - виплата в третьем году
Пример 2: Определить накопленную сумму аннуитета по
ренте сроком в 8 лет при выплате я конце года 600 ден. ед.
Процент сложный, его ставка равна 0,04.
Решение: Необходимо по таблице 12.1 (третий сгЩбец)
найти величины 8ц при пересечении п= 8 а i = 4.
Пример 3: Инвестор поместил в банк 1.000 ден. ед. кроме
того, в конце каждого месяца он вносит дополнительно 200
ден. ед. Какая сумма образуется на счете инвестора через
год, если месячная ставка по аннуитету равна 6%, а месяч-
ная ставка по первоначальному вкладу - 0.5 %.
Решение: Сумма, образующаяся через год по вкладу будет
состоять во-первых, из будущей стоимости аннуитета в
200 ден. ед., производимого в течении 12 месяцев /периодов)
при 0,06, т.е.
РУп = 200 16.8699 = 3.373,98
Во-вторых, сумма в 1.000 ден. ед. в течении 12 месяцев (пе-
риодов) будет приносить процент по ставке, равной 0,005:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29