А вероятность сложного события, как мы знаем, равняется произведению составляющих его элементов. Значит, если вероятность каждого из событий одна миллионная (с этой вероятностью мы условились считаться), то вероятность нашего рассказа измеряется единицей, поделенной на единицу с восемнадцатью нулями. А это уж, простите, стопроцентная невозможность.
Разумный человек обычно делит события на правдоподобные и выдуманные без учета данных теории. В критических рецензиях писатели иногда обвиняются в том, что они не считаются с художественной правдой. Мы же часто убеждаемся, что нарушения художественной правды – это просто использование крайне невероятного сюжета, невероятного в самом что ни на есть математическом смысле этого слова.
А вот рассказ Ю. Нагибина «Перекур». Что же происходит в рассказе? А примерно то же, что и в моем рассказе, только без падения героя из самолета. Сорокапятилетний герой после двадцатилетнего перерыва понял, что по-настоящему он любил лишь один раз. Хотя любовь была всего лишь каких-то там двадцать лет назад, она вспыхнула вновь, и с пожаром в груди Климов едет в поезде на далекий полустанок, где протекал в свое время его юношеский роман. Приехал, сошел с поезда, зашагал через лес, а Маруся тут как тут. «Надо же было ей так точно рассчитать!» – пишет читатель Квашнин. Автор письма совершенно справедливо говорит: «Когда через двадцать лет герой выходит на полустанке и ровно в тот же час, минуту и секунду здесь же оказывается и героиня, читатель прищуривает глаза: хитро придумано – и перестает верить многому».
Примеров, подобных моему «сочинению» или вот этому рассказу Нагибина, нет числа. Авторов обвиняют в художественной неправде. А их стоит осуждать лишь за незнание теоремы умножения вероятностей. Они иногда оперируют несколькими маловероятными (но все же возможными) событиями и достигают сногсшибательного эффекта (а вместе с ним и отхода от художественной правды), заставляя эти события пересекаться.
Подобные приемы можно оправдать лишь в том случае, когда автор и не пытается убедить нас, что так было, а просто придумывает такие события, что у читателя дух захватывает. Прочитав подобную книгу, мы иногда говорим: «Бог мой, какая чушь, но до чего здорово закручено!» Блестящий пример такого произведения – «Сердца трех» Джека Лондона. Одна завязка что стоит, когда автор приводит в одно время и в одно место двух братьев и сестру, которые ничего не знают о связывающих их родственных узах.
«Но ведь и в шедеврах литературы случайности играют важную роль», – скажет читатель. Несомненно. Но это случайности, которые могут произойти; события, вероятность которых вполне значима. Скажем, у Л. Толстого раненый Болконский оказывается в хирургической палате рядом с Курагиным. Толстому нужна была эта встреча, чтобы показать душевный перелом князя Андрея. Вероятно ли это событие? Без сомнения. Офицерских палат вблизи поля боя было немного, а может быть, даже и одна. Вероятность очутиться в одной палате двум офицерам, грубо говоря, равняется вероятности быть раненными в один день. Если раненых офицеров в этот день был один процент, то вероятность попасть в один процент для каждого из них равняется 0,01, а обоих сразу – 0,0001; вполне разумное число, с которым надо считаться.
Нисколько не сомневаюсь, что Л. Толстой этих вычислений не производил. Но настоящий художник чувствует правду без расчетов.
Я далек от мысли писать инструкцию литераторам, как добиваться художественной правды в произведениях. Мне хотелось лишь подчеркнуть, что важным элементом жизненности произведений является приемлемое значение вероятности происходящих событий.
Пока использование невероятных пересечений приводит лишь к пустяковым результатам, вроде встречи потерявших друг друга влюбленных, то бог уж с ним: читатель развлечется, а то, что такого в жизни не бывает, он и сам знает. Лишний рассказ или роман такого рода вреда не принесет, хотя, конечно, и вкладом в литературу не будет.
Но в ряде случаев авторы используют пересечения сюжетных линий для того, чтобы подвести читателя к мысли, что происшедшее есть явление высшего порядка. Они прекрасно понимают, что если останутся в рамках законов природы, то сюжет их «не проходит». И, вместо того чтобы сказать «не проходит» – значит, нет такого, – намекают, что, мол, «по законам, конечно, “не проходит”, а вот у меня прошло, значит, не все подчиняется этим законам, есть что-то и сверх законов».
К счастью, откровенно религиозные или мистические произведения сейчас не в моде, и романов или рассказов, в которых чудесные явления преподносились бы на полном серьезе, в последнее время тоже нет.
Мы говорили о нарушении художественной правды из-за непонимания теоремы об умножении вероятностей, из-за отнесения события, вероятность которого практически равна нулю, к событиям возможным. Но более распространенным является другое заблуждение, а именно поиск детерминистского истолкования явлений, носящих случайный характер.
Можно с большой уверенностью утверждать, что есть категория людей, у которых не совсем правильные представления о случайности.
Человеческому разуму свойственно возвышенное объяснение случайным явлениям. Иногда можно услышать: «Попал, бедняга, под автомобиль. Значит, так ему на роду было написано». Встречаются суждения по поводу несчастного случая более глубокомысленные: «Человек был плохой. Мать родную из дому выгнал. Как жил плохо, так и кончил плохо». Во всем этом имеется в виду, что в жизни есть какая-то сила, способная мстить человеку за дурные его поступки. Религиозному человеку мораль подобного типа весьма близка. Рационалистически же мыслящему ясно, что никакого закономерного воздаяния со стороны судьбы, бога, рока и пр. не существует. Однако романам и повестям, подводящим читателей к мысли: «Что-то в этом есть!» или: «От судьбы не уйдешь!» – нет числа. За примерами ходить не приходится, но, чтобы не быть голословным, напомним про роман Макса Фриша «Ното Фабер», в котором герой был наказан за то, что во время фашизма он бросил свою жену-еврейку.
Судьба расправилась с героем основательно, хотя и неоригинально (было такое уже в древнегреческой литературе). Что же она сделала с этим трусливым немцем? А вот что. Ей угодно было, чтобы он спустя двадцать лет познакомился с молодой красивой девушкой и влюбился в эту девушку. Далее судьба разъяснила герою, что он согрешил со своей родной дочерью, которая родилась после того, как он сбежал от своей супруги. Герой был доведен до такой степени отчаяния, что покончил жизнь самоубийством.
В конце концов можно было рассказать сей драматический случай, изложив его под флагом «чего только в жизни не бывает». Правда, и в этом случае вряд ли роман можно было удостоить названия художественно правдивого, ибо случай уж очень редкий и нетипичный. Но все же это бы еще куда ни шло. Но Макс Фриш не для этого написал свой роман, а захотел встать в ряды авторов, заставляющих судьбу раздавать награды и шлепки в пропорции с делами героев. Позиция не заслуживает уважения. Ничем она не отличается от направленности сочинений откровенно религиозных авторов.
С моей точки зрения, любой писатель, который вмешивает «перст судьбы» в жизнь своих героев, никогда не может написать стоящую вещь. Разумеется, всегда проще командовать героями, если перипетии романа определяются тем, кто с кем «случайно» встретился, кто в какой момент догадался погибнуть или спастись… Легко навести героя на путь истинный, заставив его сломать ногу в то время, когда он направляется свершить прелюбодеяние или идет на рынок загнать налево продукцию своего завода. Гораздо труднее обосновать сюжет романа психологией героев и социальным фоном, на котором развиваются события. А только на этом пути рождаются стоящие художественные произведения.
Все попытки даже самых великих писателей, таких, как Л. Толстой, создать литературное произведение, в котором случайности были бы возведены в ранг предопределенностей судьбы, кончались крахом. Анна Каренина бросается под поезд вовсе не потому, что судьба наказывает ее за измену супругу. Вся ткань романа показывает, что такой конец естествен для Анны, что он возможен лишь потому, что Анна принадлежит к обществу именно с такой, а не иной моралью. Читателю ясно – будь Анна не Анной или принадлежи она не к российскому дворянству, а к другой среде, конец романа был бы иным, и отмщение не состоялось бы.
И одна из задач нашей книги, темой которой является вероятность, как раз и состоит в том, чтобы развенчать всяческую разновидность фатализма, предостеречь читателя от поисков обоснования событий там, где это обоснование невозможно, где события являются чисто случайными.
В своей очень интересной статье, посвященной мифотворчеству Томаса Манна, Станислав Лем показывает, что непонимание законов случая лежит в основе многих мифов. Лем приводит характерный пример. Жители одной африканской страны верят в то, что львы делятся на две категории: на львов, которые просто львы, и на львов, в которых переселились души умерших людей. Обыкновенные львы кушают людей, а львы с человеческой душой не питаются своими духовными родственниками.
Таким образом случайность изгоняется, и трапезы львов получают свое истолкование. К сожалению, миф не дает нам возможности заранее узнать, с каким львом мы имеем дело; его категория выясняется лишь после его обеда.
Понимание законов вероятности ставит все на свои места и является важнейшим оружием против мифов, против религии, против фатализма.
С одной стороны, нельзя и не надо искать объяснения случайным событиям, вероятность которых хотя и мала, но вполне разумна. Скажем, очень соблазнительно приписать всесильности материнской любви чудесное избавление от гибели ее ребенка. Ребенок играл под балконом, мать отозвала его, а через пять секунд от карниза оторвался огромный кусок штукатурки и упал на то самое место, где играло дитя. Так и хочется сказать, что «Сердце матери – вещун», или «Материнская любовь – большая сила», или «Бог не допустил гибели невинного младенчика» и т.д. и т.п. Но происшедшее не нуждается в таких ремарках, ибо вероятность события вполне приемлема и иного объяснения не требует.
С другой – владение законами вероятности позволяет с уверенностью отнести определенный класс событий к невозможным. И если большое число случайных линий все же пересеклось, вероятность события ничтожно мала, а невозможное событие все же совершилось, то, значит, не «что-то в этом есть», а «что-то здесь не так!».

Математик спешит на свидание

– Ты не забыл, что завтра мы идем в консерваторию?
– Ну конечно, нет.
– Заедешь за мной?
– Дел невпроворот. Давай мне билет, я приду один.
– Вот так всегда. Опять подруги надо мной посмеются. Завела, скажут, кавалера, который с тобою и показаться не желает.
– Ну ладно, давай встретимся. Где?
– У входа в продуктовый, что поближе к Никитским воротам.
– Так это на другой стороне улицы.
– Конечно. Мне не хочется, чтобы видели, как я тебя жду.
– Неизвестно, кто кого будет ждать… Но знаешь, завтра мне и правда время рассчитать трудно. От 18.00 до 19.00 я буду на месте как штык, а точнее – не скажу.
– Выходит, я час тебя буду ждать?
– Я и говорю: встретимся на месте.
– Не хочу.
– Тогда предлагаю компромиссное решение. Оба приходим между 17.40 и 18.40. И ждем не более двадцати минут.
– А если ты придешь в 18.00, а я в 18.30?
– Значит, я буду уже в зале.
– Да так мы никогда не встретимся на улице.
– Вероятность встречи довольно значительная. Хочешь, подсчитаю?
– Да не берись за карандаш, горе ты мое. И надо было влюбиться в математика…
Я, конечно, был бы рад продолжить рассказ о радостях и горестях влюбленных математика и девушки, далекой от чисел и интегралов. Тут бездна интересных психологических моментов. Но увы! Тема книги вынуждает вернуться к «сухой» науке.
Как же действительно подсчитать вероятность встречи математика с его любимой? Мы уже выяснили, что вероятность – это отношение числа благоприятных случаев к общему числу событий. А здесь как быть? Ведь встреча может состояться или не состояться в любой момент часового интервала.
Благоприятным исходом рассматриваемой задачи является мгновение встречи. Но мгновений бесконечно много. Ведь часовой интервал я могу разбить на минуты, на секунды и даже на микросекунды. Значит, здесь бесконечное число исходов, а не два, как в опыте с монетой, и не шесть, как в опыте с кубиком (игральной костью). Как же определяются вероятности в задачах такого рода? Оказывается, геометрическим путем. А поскольку геометрия требует наглядности, нам придется прибегнуть к нехитрому рисунку.
Отложим по горизонтали время прибытия девушки на свидание. На вертикальной прямой отметим минуты появления нашего героя. Если бы не было условия – ждать не более двадцати минут, то встреча могла бы произойти в любой точке квадрата, обнимающего часовые ожидания. При наличии же дополнительного условия моменты встречи попадут в заштрихованную область. Пожалуйста, проверяйте.

Девушка пришла без двадцати шесть. Встреча состоится, если кавалер явится до шести. Этому соответствует первый отрезок.
Девушка пришла в 18.00. Встреча состоится, если кавалер явится от 17.40 до 18.20. Такой встречи соответствует второй отрезок, построенный на рисунке.
Если девушка пришла в 18.20, то встреча состоится при условии, если математик явится к продуктовому магазину между 18.00 часами и крайним сроком – 18.40. Вот вам третий отрезок.
Теперь еще одна точка, и заштрихованная область будет готова: девушка успела прибежать на свидание в 18.40. Она застанет своего возлюбленного, если он явился не раньше 18.20.
Что же дальше? Где же искомая вероятность? Нетрудно догадаться, что она будет равняться частному от деления площади заштрихованной области на площадь всего квадрата.
По сути дела, определение вероятности остается тем же – благоприятные варианты относятся ко всем возможным. Но если ранее мерой было число случаев, то теперь мерой является площадь на графике.
Два незаштрихованных треугольника образуют квадрат со стороной, соответствующей 40 минутам. Его площадь 40 2 . Таким образом, искомую вероятность получим, поделив (3600-1600) на 3600. Итого 5/9.
Будем надеяться, что математик встретится со своей девушкой.
Применение теории вероятностей к событиям с непрерывным рядом исходов намного расширяет ее возможности.
Одной из исторически первых задач такого рода была проблема, поставленная и решенная французским естествоиспытателем XVIII века Бюффоном.
На большом листе бумаги начерчен ряд параллельных линий. Наобум бросается игла, длина которой много меньше расстояния между линиями на бумаге. Игла может пересечь одну из линий, а может очутиться и между линиями. Надо оценить вероятность того, что пересечение произойдет.
Предполагается, что центр иглы с равной вероятностью может попасть в любое место бумажного листа. Так же точно считается, что угол наклона иглы к начерченным линиям может принять какое угодно значение. Если игла попадет на середину между линиями, то она не пересечет линии, как бы она ни оказалась повернутой. Если же центр иглы очутился вблизи линии, то пересечение не произойдет, если игла установится параллельно линии или около того, и напротив, игла пересечет линию, если образует угол, близкий к прямому. Получается так: чем ближе к линии попадет центр иглы, тем больше вероятность ее пересечения.
Задача может быть решена без всякой математики. Попробуйте свои силы.

Треугольник Паскаля

Однажды я медленно шёл по Парижу, разглядывал витрины магазинов и читал вывески. Цветастая надпись над входом грязновато-серого здания настойчиво приглашала зайти и попытать счастья. Я удивился, что игорный дом работает среди бела дня, – это не соответствовало сведениям, почерпнутым мною из классической литературы – и… я зашел. Взору представилась поразительная картина: десятки людей стояли лицом к стене, и перед каждым находился цветной ящик. Подойдя ближе, я увидел, что они либо нажимали кнопку, либо дергали за ручку, будто заводя заглохший лодочный мотор.
Через несколько минут я понял, в чем дело: люди играли с автоматами. Зрелище это неприятное, но великолепное поле для наблюдений психолога. Человек играет с судьбой. Один на один. Все побочные обстоятельства отсеяны. Нет ни соперничеств, ни личной неприязни, ни необходимости скрывать свои чувства.
Есть автоматы, у которых вы можете выиграть только конфетку или сигареты, есть такие, которые играют на деньги, и, наконец, существует возможность наслаждаться игрой безгранично, вступив в единоборство с автоматом, выигрыш у которого дает лишь право дальнейшей игры.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27