На первый взгляд такая замена вполне законна. Но для того, чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что в исчислении предикатов могут быть выведены все модусы силлогистики Аристотеля.
Система аксиом и правила вывода в исчислении предикатов могут быть заданы следующим образом. В качестве системы аксиом берется любая известная система аксиом исчисления высказываний и к ней добавляются специфические для исчисления предикатов аксиомы, например, такие:

Смысл их очевиден. Первая аксиома говорит о том, что если Р (х ) истинен для любых х , то и для некоторого у из того же универсума истинность предиката должна сохраняться. Вторая аксиома говорит о том, что если найдется такое у , что Р (у ) будет истинным, то верно, что существует х , для которого Р (х ) истинно.
К правилам вывода, используемым в исчислении высказываний, в исчислении предикатов добавляются еще три правила.
1. Пусть F 1 и F 2 – две формулы исчисления предикатов. И пусть в F 1 переменная х не входит, а в F 2 входит в качестве свободной переменной. Пусть, наконец, формула F 1
F 2 является выводимой. Тогда выводима и формула F 1
xF 2.
2. Если х содержится в качестве свободной переменной в F 1 и не содержится в таком виде в F 2 и если F 1
F 2 – выводимая формула, то
xF 1
F 2 также является выводимой.
3. Если F – выводимая формула и в F есть кванторы общности и существования, то любая из связанных ими переменных может быть заменена на другую связанную переменную одновременно во всех областях действий квантора и в самом кванторе. Полученная после этого формула также является выводимой.
Использование такой системы аксиом и такого множества правил вывода позволяет в исчислении предикатов из тождественно истинных формул получать тождественно истинные.
Вернемся теперь к попытке вложения силлогистических утверждений в исчисление предикатов. Исследование выводимости 24 модусов, верных в силлогистике Аристотеля, в исчислении предикатов привело к следующему результату. Если предполагать, что все классы сущностей непусты, т.е. рассуждения не касаются мыслимых сущностей (например, драконов или русалок), то приведенная выше замена силлогистических выражений выражениями логики предикатов будет полностью справедлива. Другими словами, при непустых классах сущностей все модусы силлогистики Аристотеля выводятся в исчислении предикатов.
Иная ситуация возникает при допущении пустых классов сущностей. В исчислении предикатов предикаты с пустыми областями для аргументов ведут себя совсем не так, как такие же предикаты с непустыми областями. В этих условиях оказываются невыводимыми все модусы силлогистики, в которых вывод носит частный характер, а обе посылки носят общий характер. Например, оказываются невыводимыми модусы AAI и ЕАО первой фигуры:

Хотелось бы обратить внимание читателей на только что полученный результат моделирования. Даже в области дедуктивных рассуждений, дающих всегда достоверные результаты, характер человеческих рассуждений может быть различным. И он не обязан совпадать (как это показывает случай с силлогистикой) с теми схемами рассуждений, которые демонстрирует исчисление предикатов.
Общая схема вывода
Опишем общую схему выводов, лежащую в основе большого количества моделей человеческих достоверных рассуждений. Она приведена на рис. 19. Обратим сначала внимание на рис. 19, а . На нем показано некоторое дерево вывода . Вершинам этого дерева соответствуют определенные утверждения Fi , а дуги определяют порядок получения новых утверждений. Те дуги, которые сходятся в зачерненные точки, образуют конъюнктивные условия вывода , а те дуги, которые между собой соединены «дужкой», образуют дизъюнктивные условия вывода . Например, получение утверждения F 9 возможно двумя путями. Если доказаны утверждения F 2 и F 3, то F 7 следует из их доказанности, F 6 из доказанности F 2 и F 9 из доказанности F 6 и F 7. Другой путь доказательства F 9 вытекает из априорной доказанности F 3 или F 4. Любого из этих фактов достаточно для вывода F 8, который обеспечивает выводимость F 9.

Рис. 19.

Дерево вывода с такими условиями переходов от вершины к вершине носит название И-ИЛИ дерева . В И-ИЛИ дереве ориентация дуг показывает направление вывода. Естественное разбиение вершин дерева по ярусам отражает глубину вывода (число шагов, необходимых для получения утверждений данного яруса). Первый ярус дерева образуют вершины (на рис. 19, а это вершины F 1, F 2, F 3, F 4), играющие роль аксиом или утверждений, истинность которых задается извне.
Схема вывода не обязательно описывается в виде дерева. Она может иметь вид произвольной сети, ориентированной, неориентированной или частично ориентированной. На рис. 19, б показан пример неориентированной сети. Такая сеть (наличие или отсутствие ориентации не играет здесь роли) называется И-ИЛИ сетью . Процесс вывода на И-ИЛИ сети протекает следующим образом. Пусть мы хотим доказать утверждение ?6 (на рис. 19, б этому соответствует целевая вершина ). В качестве априорно доказанного задано утверждение ?1 (ему соответствует начальная вершина, которая на рис. 19, б заштрихована). Как из ?1 можно получить ?6? Если считать, что все связи допускают ориентацию в нужную сторону, то из ?1 можно получить ?3, затем ?5 и, наконец, ?6. Но этот путь нам удалось отыскать потому, что сеть, показанную на рис. 19, б , мы видим «с птичьего полета». Лабиринт поиска лежит в виде чертежа перед нами. Именно это позволяет нам не делать лишних попыток, не двигаться в ненужную сторону, а идти кратчайшим путем к цели.
Подобная ситуация приятна, но редко встречается в действительности. При решении любой задачи, даже если заранее известен ее ответ, к которому надо стремиться (для школьника эта ситуация с подглядыванием в ответ до решения задачи весьма типична), мы не видим перед собой полного лабиринта возможностей. Мы пытаемся построить этот лабиринт, видя лишь начальные «площадки лабиринта» и не зная, что лежит между ними и «целевыми площадками». В нашем примере мы стоим на начальной площадке, в вершине ?1, и не знаем, куда идти. Мы делаем попытку перейти в ?2 (т.е. вывести утверждение), но видим, что этого нельзя сделать. Тогда мы движемся в сторону утверждения ?3 и обнаруживаем, что его доказательство возможно. Теперь в нашем распоряжении две площадки лабиринта: ?1 и ?3. Из ?3 можно двигаться в четырех направлениях. Одно из них, ведущее назад к ?1, интереса не представляет. Попытка продвинуться к ?2 и ?5 оказывается успешной. Возникает новый фронт достигнутых площадок (доказанных утверждений). Теперь его образуют ?2, ?3 и ?5. Площадка ?1 исключается из активного фронта, так как использованы все связи этой площадки с другими площадками лабиринта. На следующем шаге достигаются площадки ?4 и ?6. Наличие среди доказанных выражений целевого ?6 позволяет завершить процесс доказательства. После этого можно произвести «чистку», в результате которой останется лишь тот путь, который кратчайшим образом приводит от начального утверждения ?1 к целевому ?6.
На примере мы описали процедуру, которая, как легко видеть, носит универсальный характер и пригодна для поиска пути вывода в лабиринтах произвольного типа. Эта процедура известна среди специалистов под названием метода прямой волны . Волна поиска путей к целевой площадке распространяется от всех площадок, играющих роль начальных.
Возможен и другой способ поиска доказательства. Он носит название метода обратной волны . В этом методе волна начинает свое движение от целевых площадок и движется в направлении начальных площадок лабиринта. Для нашего случая на первом шаге была бы порождена площадка, соответствующая ?5, вслед за этим ?3 и ?1. На этом движение волны прекратилось бы, так как ее фронт достиг всех (в данном случае единственной ?1) начальных площадок.
Различие между прямой и обратной волной состоит в том, что они порождают в процессе своего движения различные промежуточные «фронты» площадок, что приводит к различному числу шагов при поиске. Часто используется смешанный метод вывода, при котором одновременно движутся прямая и обратная волны. При встрече этих волн формируется путь вывода от начальных аксиом к целевым выражениям.
Несколько иной разновидностью схем вывода являются так называемые альтернативные деревья или альтернативные сети . В этих схемах выбор дальнейшего пути движения зависит от того, достигнут или не достигнут вывод некоторого выражения. Другими словами, попытки продвижения по лабиринту, которые мы демонстрировали на методе прямой волны при удачах и неудачах, могут влиять на стратегию дальнейшего движения. Такие схемы вывода мы более подробно рассмотрим в пятой главе. Здесь же лишь проиллюстрируем рассуждение такого типа на примере.
В знаменитом рассказе «Убийство на улице Морг» Эдгара По сыщик-любитель Огюст Дюпен помещает в газете объявление о находке орангутанга, который, по слухам, принадлежит матросу мальтийского корабля. На вопрос о причинах такого объявления Огюст Дюпен отвечает следующим образом:
«Но вот обрывок ленты, посмотрите, как она засалена, да и с виду напоминает те, какими матросы завязывают волосы. К тому же таким узлом мог завязать ее только моряк, скорее всего мальтиец. Я нашел эту ленту под громоотводом. Вряд ли она принадлежала одной из убитых женщин. Но даже если я ошибаюсь и хозяин ленты не мальтийский моряк, то нет большой беды в том, что я сослался на это в моём объявлении. Если я ошибся, матрос подумает, что кто-то ввел меня в заблуждение, и особенно задумываться тут не станет. Если же я прав, – это козырь в моих руках. Как очевидец, хоть и не соучастник убийства, француз, конечно, не раз подумает, прежде чем пойти по объявлению. Но вот он станет рассуждать: „Я не виновен, к тому же я человек бедный; орангутанг и вообще-то в большой цене, а для меня это целое состояние, зачем же терять его из-за пустой мнительности. Вот он, рядом, только руку протянуть. Его нашли в Булонском лесу, далеко от места, где произошло убийство. Никому в голову не придет, что такие страсти мог натворить дикий зверь. Полиции ввек не догадаться, как это случилось. Но хотя бы обезьяну и выследили – попробуй докажи, что я что-то знаю; а хоть бы и знал, я не виноват. Главное, кому-то я уже известен. В объявлении меня так и называют владельцем этой твари. Кто знает, что этому человеку еще про меня порассказали. Если я не приду за моей собственностью, а ведь она больших денег стоит, да известно, что хозяин – я, на обезьяну падет подозрение. А мне ни к чему навлекать подозрение, что на себя, что на эту бестию. Лучше уж явлюсь по объявлению, заберу орангутанга и спрячу, пока все не порастет травой“».
Читателю предлагается построить по этому тексту альтернативное дерево рассуждений владельца орангутанга.
И последнее замечание к тексту этой главы. Конечно, не надо считать дедуктивные схемы рассуждений панацеей для всех случаев. Метод, обычно приписываемый Шерлоку Холмсу, не всегда ведет к успеху.
Для многих читателей имя Шерлока Холмса навсегда связано с изяществом и неоспоримостью дедуктивного метода рассуждений. Но при внимательном чтении произведений Конан-Дойля легко обнаружить, что знаменитый сыщик пользовался не только дедуктивными рассуждениями. Шерлок Холмс никогда не забывал и об индукции.
Всякое порождение новой версии – это индуктивный шаг. Дедукцией является лишь обоснование выдвинутой версии. А выдвижение новых версий тесно связано с переходом от некоторых частных фактов к общим утверждениям относительно их, т.е. с правдоподобными рассуждениями. И настало время перейти к их обсуждению.

Глава четвертая. АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРАВДОПОДОБНЫХ РАССУЖДЕНИЙ

Я гнет бездарности тащу
сквозь мир красот и безобразий.
Всегда, везде, во всем ищу
причинно-следственные связи.
С.А. Стебаков
От Аристотеля до Бэкона
Аристотель упоминал о двух основных процессах рассуждений: нисходящем или дедуктивном и восходящем или индуктивном. Иногда говорят, что дедукция – это рассуждение «от общего к частному», а индукция – «от частного к общему». При таком понимании этих двух процессов возникает иллюзия, что они как будто обратны друг другу и одну схему рассуждений можно получить из другой прямым обращением. Этой иллюзии поддался и Аристотель. Увлеченный красотой и стройностью воздвигнутого им здания силлогистики, он попытался втиснуть в его объемы и индуктивное рассуждение, ввести схему индуктивного силлогизма. Но здесь его подстерегала неудача. Индуктивные рассуждения никак не хотели отливаться в ту стройную форму, которая так подошла дедуктивным рассуждениям.
Попытки адептов учения Аристотеля исправить, уточнить, расширить понятие индуктивного силлогизма остались тщетными. В основе различия дедукции и индукции лежало нечто более существенное, чем думали мыслители, не желавшие выходить за рамки мира, очерченного рукой гениального Аристотеля.
Напомним еще раз основную цель, которую преследовал Аристотель, создавая силлогистику. Она должна была стать непобедимым оружием в споре. Если оппонент признавал общее положение, относящееся к классу однородных объектов или явлений (а как он мог не признать, например, столь очевидную истину, что «Все люди смертны»), и принадлежность какого-либо объекта или явления к этому классу (например, что «Сократ есть человек»), то ему ничего не оставалось сделать, как признать, что общий для всего класса признак переносится и на отдельный элемент этого класса. Возражать против такого хода рассуждений мог бы только человек, спорить с которым не имеет никакого смысла, ибо он отвергает очевидное.
Если бы аналогичная цель стояла перед спорящим, который пользуется методом индукции, то схема его рассуждений должна была быть следующей. Сначала он мог бы сообщить оппоненту несколько утверждений об отдельных представителях класса, в существование которого должны верить оба спорящих. Каждое такое утверждение должно касаться одного и того же признака, связанного с элементами этого класса (например, оппоненту надо было сообщить, что «Гомер смертен», «Фидий смертен», «Эзоп смертен», и добиться от оппонента признания правильности этих утверждений). После этого надо было прийти с противником к согласию, что все эти элементы принадлежат одному классу (в нашем примере, что Гомер, Фидий и Эзоп являются людьми). Далее нужно было совершить главный индуктивный шаг, перейти к утверждению о классе (т.е. ввести утверждение «Все люди смертны») и заставить противника принять это утверждение.
Трудность таится именно на последнем шаге спора. Примет или не примет этот шаг оппонент, зависит от степени его уверенности в правильности данного шага. Этот шаг требует не умения логически обосновывать свои действия и рассуждения, а веры в свою справедливость. Можно ли от трех конкретных утверждений о Гомере, Фидии и Эзопе перейти к общему утверждению о всех людях? Ответ на этот вопрос не снимается, если мы к названным трем великим представителям греческой культуры добавим еще кого-нибудь. Где граница, после которой индуктивный шаг станет оправданным? Ответа на этот вопрос нет и быть не может. Именно поэтому индуктивное умозаключение всегда является правдоподобным рассуждением . Его надо принимать на веру. И обсуждать можно только то, как оценить обоснованность этой веры, т.е. как оценить степень правдоподобности выведенного утверждения.
Мы получили весьма важный вывод о том, что каждое правдоподобное утверждение А должно сопровождаться некоторой оценкой правдоподобности (достоверности) Q (A ) . Интерпретация Q (A ) может быть различной. Некоторые из них, сейчас наиболее распространенные, будут обсуждены в последующих разделах этой главы.
Подчеркнем еще раз принципиальное различие между дедуктивной и индуктивной схемами рассуждений. Если посылки в дедуктивной схеме выбраны правильно, являются истинными, то получаемые с их помощью заключения не могут быть ложными. Если они нас чем-то настораживают, вызывают недоумение, то надо еще раз проверить истинность посылок. Убедившись в их правоте, ничего не остается делать, как полностью принять следующие из них выводы. Если посылки в индуктивной схеме выбраны правильно, являются истинными, то получаемые с их помощью заключения могут быть как истинными, так и ложными. Та или иная точка зрения на заключения зависит от степени субъективной уверенности в достаточности посылок для получения заключения. Именно поэтому вместо оценки истинности или ложности заключения в правдоподобных рассуждениях используется оценка правдоподобности (или истинности) Q (A ).
Известный специалист по психологии восприятия Р. Грегори писал:
«В самой природе дедуктивных утверждений содержится нечто в высшей степени странное.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22