Два этих постулата, введенные в настоящем разделе, представляют, следовательно, достаточную основу для полной и ясной вероятностной интерпретации новой механики. Возникают, очевидно, еще мелкие дополнительные вопросы: чтобы получить значения вероятностей в абсолютной мере, необходимо нормировать собственные функции и «КСИ»-функцию; чтобы учесть вырожденные случаи, когда имеются многократные собственные значения, необходимо расширить формулировку второго принципа и т д. Однако это детали. Основы же теории сформулированы в логически удовлетворительной форме.
А теперь мы хотим предупредить возражение, которое может возникнуть у многих читателей при чтении этого раздела: не оказывается ли эта вероятностная интерпретация новой механики, хотя и очень красивая и очень ясная, несколько произвольной. Зачем нужны понятия, столь сложные и столь противоречащие привычным представлениям классической механики? Оказывается, что вероятностная интерпретация это единственная возможная на сегодняшний день. Это означает, что сегодня она одна позволяет объяснить в рамках волновой механики все квантовые явления, которые наблюдаются экспериментально. Ни одна из попыток, сделанных в любых других направлениях, не привела к успеху. Автору данной книги это известно лучше, чем кому-либо другому, ибо он сам предпринимал попытки такого рода, которые ему в конце концов пришлось оставить из-за возникших непреодолимых трудностей.
Итак, можно сказать, что введенные выше фундаментальные постулаты оправданы тем, что на их основе можно построить последовательную теорию, согласующуюся со всеми экспериментальными фактами, и невозможно построить никакой другой теории, обладающей такими же свойствами. Таково положение со всеми физическими теориями, ибо в основе любой физической теории лежат произвольные постулаты, и успех их в том именно и заключается, что их применение правильно описывает наблюдаемые явления.
Ниже мы строго установим глубокое различие между вероятностной интерпретацией новой механики и классическими теориями. Здесь же ограничимся указанием, что изученные в настоящем разделе принципы в более абстрактной и даже более общей форме под именем теории преобразований легли в основу работ Дирака и Иордана.

2. Соотношение неопределенностей

Физическая интерпретация новой механики ведет к очень интересным и важным следствиям, на которые впервые обратил внимание Гейзенберг, Математически они выражаются неравенствами, известными сегодня под названием соотношений неопределенности. Гейзенберг вывел эти неравенства из не коммутативности величин в своей новой квантовой механике. Чтобы пояснить их смысл, будем исходить из представления, которое дает нам волновая механика. Покажем, что эти соотношения – неизбежное следствие описанной физической интерпретации волновой механики, если предположить, что состояние частицы всегда изображается «КСИ»-волной.
Прежде всего рассмотрим плоскую монохроматическую волну, описывающую свободную частицу. Мы знаем, что этой волне соответствует вполне определенное состояние движения, в данном случае определенное значение вектора импульса. Именно это мы имеем в виду, когда говорим, что рассматриваемое состояние есть собственное состояние оператора импульса, или чистое состояние движения с определенные импульсом и, значит, также энергией. Но плоская монохроматическая волна всюду имеет постоянную амплитуду. Поэтому из принципа интерференции следует, что положение частицы совершенно неопределенно, т е. найти частицу в любой точке пространства можно с одинаковой вероятностью. Итак, мы утверждаем, что полная определенность состояния движения частицы означает согласно принципам новой механики совершенную неопределенность ее положения в пространстве. Конечно, случай, когда со свободной частицей связана плоская и монохроматическая «КСИ»-волна, совершенно особый. В общем случае «КСИ»-волны будут образовывать волновой пакет – суперпозицию некоторого числа плоских монохроматических волн. Этот волновой пакет можно локализовать в ограниченной области пространства. Таким образом, положение частицы будет определено лучше, она обязательно будет находиться в области, занятой волновым пакетом, единственной области, где амплитуда отлична от нуля.
При этом мы столкнемся с интересным свойством математического представления волнового пакета в виде интеграла Фурье. Оно заключается в том, что чем меньше размеры волнового пакета, тем шире спектральный интервал, который занимают компоненты разложения Фурье. Кратко этот вывод можно сформулировать так: чем меньше размеры волнового пакета, тем дальше он от монохроматичности. Таким образом, если обратиться к принципам интерференции и спектрального разложения, становится очевидным, что состояние движения частицы тем более неопределенно, чем лучше определено ее положение в пространстве. Сколько мы приобретаем в одном, столько теряем в другом. Наконец, обратимся к другому предельному случаю, противоположному плоской монохроматической волне. Для этого представим себе волновой пакет «КСИ»-функции бесконечно малого размера. Положение частицы при этом известно точно: мы имеем здесь дело с чистым состоянием с определенной координатой. Но в этом предельном случае волновой пакет можно представить только интегралом Фурье по всевозможным плоским монохроматическим волнам, и, исходя из наших фундаментальных принципов, мы должны сказать, что состояние движения совершенно неопределенно.
Таким образом, точное знание положения означает полное незнание состояния движения, Общий вывод заключатся в том, что фундаментальные принципы, положенные в основу физической интерпретации волновой механики, вместе с методом представления волнового пакета в виде суперпозиции монохроматических волн означают невозможность строго в один и тот же момент времени определить положение и состояние движения частицы.
Только что мы описали, правда, скорее в качественной форме, путь, который позволяет легче понять причины, приведшие Гейзенберга к соотношениям неопределенности. В более строгой форме эти же рассуждения позволяют сформулировать следующий результат: произведение неопределенности в значении координаты на неопределенность в значении соответствующей компоненты импульса всегда не меньше, чем величина порядка постоянной Планка h . Таким образом, получаются некоторые неравенства. Они показывают, что координаты частицы и соответствующей компоненты импульса не могут быть точно известны в один и тот же момент времени, и что, если неопределенность одной из двух сопряженных величин очень мала, то непременно неопределенность другой – очень велика.
Еще раз подчеркнем, что соотношения неопределенности – неизбежное следствие, с одной стороны, возможности сопоставить частице некоторую волну, с другой – общих принципов вероятностной интерпретации. Однако вместе с тем необходимо указать, что ни одно измерение никогда не может дать значений положения и импульса частицы с большей точностью, чем это позволяют соотношения неопределенности. Не будь этого, было бы невозможно (и это можно доказать) всегда сопоставить частице определенную волну. Гейзенберг и Бор провели строгий и глубокий анализ процесса измерения и показали, что ни одно измерение не может дать результатов, противоречащих соотношениям неопределенности. И это, как мы видим, обусловлено двумя причинами, очевидно, связанными между собой: существованием кванта действия, с одной стороны, и дискретной природой вещества и излучения, с другой.
Чтобы понять, почему эксперимент не может дать большей точности, чем позволяют соотношения неопределенности, предположим, что мы пытаемся точно определить положение частицы в пространстве. Самый тонкий способ исследовать пространство в пределах очень малых размеров, который имеется в нашем распоряжении, это коротковолновое излучение.
Этот метод, гораздо более точный, чем любой механический метод, позволяет различить в пространстве две Точки, расстояние между которыми порядка длины волны. Чтобы точнее определить координату частицы, нам нужно взять длину волны излучения тем короче, чем с большей точностью необходимо знать координату. Но здесь в виде кванта излучения проявляется существование кванта действия. Чем больше мы уменьшаем длину волны нашего излучения, тем больше увеличиваем его частоту, а следовательно, энергию его фотонов. Увеличивается при этом и импульс, который эти фотоны могут передать исследуемой частице. Измерительный же прибор, приспособленный для точного определения координаты частицы, оставляет нас в полном неведении относительно значения ее импульса в процессе измерения.
Таким образом, конечное состояние движения частицы, полученное после измерения, будет тем более неопределенным, чем более точно измерено ее положение в пространстве. Выражая количественно проведенное рассуждение, мы снова получим соотношение неопределенности. С другой стороны, представим себе эксперимент, имеющий целью точное определение состояния движения: например, измерение скорости электрона можно провести, изучая эффект Доплера при рассеянии света. Мы опять придем к заключению, что чем точнее прибор определяет состояние движения частицы, тем более неопределенным будет ее положение. Соотношения неопределенности оказываются математическим выражением этого обстоятельства. Мы не можем приводить здесь подробно многочисленные примеры, данные Бором, Гейзенбергом и другими, ибо для этого потребовались бы графики и формулы. Эти примеры вполне убедительны, и сегодня большинство физиков, по-видимому, согласно допускать, что невозможно построить измерительный прибор, который позволил бы нарушить ограничения, накладываемые неравенствами Гейзенберга.
Прежде чем перейти к изучению некоторых философских аспектов результатов, полученных в последних двух разделах, нам бы хотелось показать, почему соотношения неопределенности и вообще общие принципы вероятностной интерпретации, приведенные выше, не противоречат твердо установленным выводам старой механики, а, наоборот, позволяют рассматривать их как первые приближения.

3. Сопоставление со старой механикой

Уже на заре развития квантовой теории было очевидно; что классическая механика не может быть строго правильной. Причиной этого было само существование кванта действия. Иными словами, если бы постоянная Планка была равна нулю, классическая механика была бы строгой. Повсюду в старой квантовой теории, от планковской теории излучения черного тела до последних разработок идей Бора и Зоммерфельда, мы обнаруживаем, что квантовые формулы переходят в классические, если величину h устремить к нулю.
Эта фундаментальная идея снова подтверждается в новой механике. С точки зрения квантовой механики все различия между старой и новой механикой возникают из не коммутативности матриц, соответствующих каждой из координат, с матрицами, отвечающими сопряженным по Лагранжу импульсам, причем разность переставленных произведений этих матриц, пропорциональная h , исчезает, если величину h положить равной нулю. Если мы предпочтем точку зрения волновой механики, то заметим, что длина «КСИ»-волны, пропорциональная h , обращается в нуль, когда h исчезает. Но при этом всегда оказывается справедливой геометрическая оптика, ибо легко видеть, что методы геометрической оптики можно применять во всех случаях, когда длина волны бесконечно мала. Поэтому, когда h стремится к нулю, уравнение распространения «КСИ»-волны всегда можно заменить уравнением геометрической оптики, т е. уравнением Якоби. Таким образом, новая и старая механика асимптотически совпадают.
Легко понять, почему классическая механика практически всегда остается справедливой, когда мы имеем дело с макроскопическими явлениями. По существу эти явления описываются столь большими значениями физических величин, что квантом действия можно при этом совершенно пренебречь, и его влияние полностью маскируется неизбежным недостатком точности физических измерений. Это легко уяснить на численных примерах и показать, скажем, что для того, чтобы подтвердить неравенство Гейзенберга для шарика весом в одну десятую миллиграмма (чрезвычайно благоприятный случай ввиду необычайной легкости шарика), было бы необходимо, даже если скорость известна с точностью до одного миллиметра в секунду, измерить положение его центра тяжести с точностью, не меньшей чем 10-20 сантиметра! Чтобы еще лучше понять, как достигается соответствие между старой и новой механикой, рассмотрим более подробно один частный случай.
Предположим, что мы изучаем крупномасштабное движение частицы, например движение электрона в магнитном поле. Мы знаем, что такое движение можно точно описать, исходя из представлений классической механики. Как это согласуется с соотношениями неопределенности? Для ответа на этот вопрос прежде всего заметим, что в условиях этого макроскопического эксперимента самые маленькие расстояния, которые мы можем измерять прямым способом, во много раз больше длины волны, соответствующей исследуемой частице. Следовательно, может существовать волновой пакет, размеры которого меньше тех, что мы можем прямо измерить, и который тем не менее будет образован волнами почти одинаковой длины.
Таким образом, точный и хорошо проведенный эксперимент может позволить, не вступая в противоречие с соотношениями Гейзенберга, представить состояние частицы после измерения в виде некоего волнового пакета. Поскольку этот пакет практически локализован в точке и практически для нас монохроматичен, мы можем в пределах точности макроскопического измерения получить строго определенные положение и скорость частицы. Кроме того, фундаментальный результат, полученный на самой заре развития волновой механики, гласит, что группа «КСИ»-волн перемещается со скоростью, которую классическая механика, приписывает соответствующей частице. Таким образом, наш квазиточечный волновой пакет двигается в точности как классическая частица и, так как согласно принципу интерференции реальная частица должна всегда находиться внутри волнового пакета, все происходит так, будто реальная частица подчиняется законам классической механики. Как видно из этого примера, лишь недостаточная точность наших макроскопических измерений маскирует квантовую неопределенность. Итак, оказывается, нет никаких серьезных трудностей в согласовании новой механики со старой. К тому же квантовая физика построена так, что включает классическую физику в свои более широкие рамки. Снова, как во всей истории науки, прогресс идет путем последовательных приближений к истине.

4. Индетерминизм в новой механике

Уравнения классической механики целиком и полностью определяют движение системы, если в начальный момент времени известны положения и состояния движения каждой из ее частей. Таким образом, можно полностью предсказать классическое движение частицы, если известны ее положение и скорость в некоторый начальный момент времени. Эта возможность самым неумолимым образом предсказать будущее механической системы, когда имеются данные о ее состоянии в некоторый момент времени, определяет детерминизм классической механики.
Поразительные успехи, достигнутые этой механикой, особенно в области математической астрономии, привели к тому, что все физики пытались создавать теории, которые бы всегда удовлетворяли условия детерминизма. Макроскопические явления, изучавшиеся ими тогда, были подчинены этому требованию, и вся классическая теоретическая физика покоится на дифференциальных уравнениях в полных или частных произведениях, которые позволяют строго вычислить эволюцию любой произвольной физической системы, исходя из определенных данных о ее начальном состоянии. Даже в тех областях физики, где были введены вычисления вероятностей, всегда предполагали, что элементарные процессы строго детерминированы и что только очень большое число и беспорядочность элементарных процессов, из которых состоят наблюдаемые явления, позволяют обратиться к статистическим методам и понятию вероятности. Более или менее сознательно внутренний детерминизм явлений природы, требующий, чтобы их можно было полностью предсказать, по крайней мере в принципе, стал чем-то вроде научной догмы. Развитие новых квантовых теорий абсолютно изменило эту ситуацию.
Можно отдать себе отчет в различии, которое возникает в этом смысле, между старой и новой механикой. Для этого заметим, что элементы, одновременное знание которых в начальный момент времени необходимо в классической механике, чтобы строго предсказать эволюцию системы, – это как раз те самые, одновременное определение которых невозможно согласно соотношениям неопределенности.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29