Число, т.е. множество единиц, возникает тоже из соединения предела и
беспредельного. Мир, следовательно, мыслится здесь как нечто завершенное,
замкнутое (предел), а окружающая его пустота - как нечто аморфное,
неопределенное, лишенное границ - беспредельное. Противоположность "предел
- беспредельное" первоначально была близка к таким мифологическим
противоположностям, носящим ценностно-символический характер, как свет -
тьма, доброе - злое, чистое - нечистое и т.д. Об этом свидетельствует и
высказывание Аристотеля о пифагорейцах, где дается перечень десяти пар
противоположностей:
предел - беспредельное,покоящееся - движущееся,нечет - чет,прямое -
кривое,единое - множество,свет - тьма,правое - левое,хорошее -
дурное,мужское - женское,квадрат - параллелограмм25.Из этих
противоположностей строится все существующее, и само число рассматривается
тоже как состоящее из противоположностей - чета и нечета. Как сообщает
Аристотель, "элементами числа они (пифагорейцы. - П.Г.) считают чет и
нечет, из коих первый является неопределенным, а второй определенным;
единое состоит у них из того и другого - оно является и четным и нечетным,
число <образуется> из единого, а <различные> числа, как было сказано, это -
вся вселенная"26.
Единое, или единицу (monРj), пифагорейцы, как видно из приведенного текста
Аристотеля, ставили в особое положение: единица для них - это не просто
число, как все остальные27, а начало чисел; чтобы стать числом, все должно
приобщиться к единице - она же единство. Определение единицы, как его дает
Евклид в VII книге "Начал", явно восходит к пифагорейскому: "Единица есть
то, через что каждое из существующих считается единым"28. Поэтому
пифагорейцы не считают единицу нечетным числом (они вообще не считают ее
числом, а скорее началом числа)29; первым четным числом у них является
двойка, а первым нечетным - тройка.
Но почему четное соотносится с беспредельным, а нечетное - с пределом?
Чтобы понять это, надо иметь в виду, что для пифагорейцев числа имели также
зрительный образ; число для них было не просто количеством, а имело
качественную характеристику. Это, видимо, было связано также и с тем, что
древние математики изображали числа геометрически. "Представлять числа в
виде геометрических образцов, - пишет У.К. Гатри, - было обычной практикой
пифагорейцев; вероятно, это была самая ранняя практика и у греков, и у
других народов"30. Благодаря этому арифметика и геометрия у пифагорейцев
были очень тесно связаны. Поэтому пифагорейцы различали линейные, плоские и
телесные числа. Так, единица у них выступала как точка, двойка - как линия
(две точки), тройка - как плоскость (рис. 1), четверка - как тело ("первое"
тело - пирамида; рис. 2).
Рис. 1 Рис. 2
Теперь присмотримся к характеру первого четного и первого нечетного чисел.
Первое нечетное - тройка - имеет начало, конец и середину. Оно тем самым, с
точки зрения пифагорейцев, завершено и довлеет себе, есть замкнутое целое.
Тройка, согласно пифагорейцам, - это элементарный треугольник, совершенная
фигура. Что же касается двойки, то у нее недостает середины, поэтому она не
имеет центра в себе и ей свойственно растекаться в беспредельность31. И в
самом деле, двойка - это определение линии, а линия неограниченно
простирается в обе стороны32.
Аристотель в "Физике" разъясняет пифагорейское учение о чете и нечете
следующим образом: "...пифагорейцы считают бесконечное четным числом, оно,
будучи заключено внутри и ограничено нечетным числом, сообщает существующим
вещам бесконечность. Доказательством служит то, что происходит с числами:
именно, если накладывать гномоны вокруг единицы и сделать это далее (для
четных и нечетных отдельно), в одном случае получается всегда особый вид
фигуры, в другом - один и тот же"33.
Гномоном в Древней Греции назывался вертикальный стержень, поставленный на
горизонтальной плоскости (первые солнечные часы). Пифагорейцы именовали
гномоном фигуру, полученную при операции образования большего квадратного
числа из меньшего. Гномонами они называли нечетные числа, так как
обнаружили, что если их последовательно прибавлять к единице, то они
сохраняют фигуру квадрата: 1 + 3 = 22; 4 + 5 = 32 и т.д. Графически это
изображалось следующим образом (рис. 3). Последовательные гномоны имеют
форму, изображенную на рис. 4. Как видим, путем наложения гномонов
сохраняется один и тот же вид фигуры - квадрат. Именно это свойство
нечетных чисел - образовывать в результате их прибавления одну и ту же,
хотя и возрастающую в размерах, фигуру - было существенно для пифагорейцев.
Рис. 3 Рис. 4
А что имеет в виду Аристотель, говоря о другом случае - о случае, когда
каждый раз возникает особая фигура? Оказывается, если складывать числа
четные, то будем получать не квадрат, а прямоугольник: 2, 6, 12, 20 и т.д.
Эти числа пифагорейцы называли "прямоугольными" в отличие от первых -
"квадратных": 4, 9, 16, 25 и т.д. Четные числа впоследствии стали называть
гномонами прямоугольников. Нечетное число, таким образом, сохраняет себя
(свою форму), а потому оно - предел, единое, покоящееся, прямое,
квадратное, хорошее; четное же теряет свою форму: оно беспредельное,
множество, движущееся (изменчивое), кривое, неквадратное (разностороннее),
дурное.
Для ранних пифагорейцев вообще характерно стремление к выделению
совершенных чисел, т.е. таких, в которых воплощаются особенно значимые, с
их точки зрения, связи природы и человеческой души. Такое рассмотрение
числа, по-видимому, восходит к мифологической и культовой символике, но у
пифагорейцев операции с совершенными числами ведут к установлению ряда
числовых соотношений, важного для дальнейшего развития математики в Древней
Греции.
Числовая символика пифагорейцев
В пифагорейском союзе первоначально уделялось много внимания числовой
символике. Так, к уже ранее найденным семеркам - семь элементов, семь сфер
вселенной, семь частей тела, семь возрастов человека, семь времен года и
т.д. - пифагорейцы прибавили семь музыкальных тонов и семь планет. Однако
уже первые операции над числами привели к тому, что семерка уступила место
десятке. О том, как это произошло, дает представление следующий отрывок из
Лаврентия Лида: "Итак, правильно Филолай назвал число 7 "не имеющим
матери". Ибо оно по своей природе ни рождает, ни рождается. Не рождающее же
и не рождаемое - неподвижно"34. Этот отрывок дает представление о
символическом языке пифагорейцев. Смысл сказанного на этом языке таков:
семерка - простое число, она не возникает из множителей, как другие числа:
4, 6, 8, 9, 10. Можно, правда, рассматривать ее как произведение 1(7, но
положение единицы как сомножителя в пифагорейской математике
неоднозначно35. Именно поэтому в некоторых свидетельствах сообщается о том,
что семерка не рождена от матери, но имеет только отца - монаду (в этом
случае единица принимается за сомножитель); в других же случаях говорится,
что у нее нет ни матери, ни отца. Семерка была низведена с пьедестала
самого совершенного числа и уступила место десятке потому, что, как
сообщают свидетельства, она неподвижна, не рождается от других чисел и сама
не рождает36.
Сам по себе переход от семерки к десятке как совершенному числу37 не
означает какого-то существенного сдвига, ибо происходит еще в русле
прежнего, сакрально-мифологического отношения к "священному числу". Но
мотивировка этого перехода нам представляется весьма существенной для
понимания того, как в пифагорейской школе совершался переход от древней
мифолого-сакральной числовой символики к выявлению математических числовых
отношений.
В самом деле, как рассматриваются числа, освященные в разных древних
культурах, - семерка, пятерка, тройка и другие? Точно так же, как мы уже
видели у Гиппократа: в форме перечисления семеричных реалий: природных
стихий, времен года, периодов человеческой жизни и т.д. И чем больше
обнаруживается такого рода семеричных, пятеричных, троичных реалий, тем
ярче становится ореол совершенства вокруг семерки, пятерки, троицы.
Возможно, и пифагорейцы начали именно с этого. (И не только начали - они и
в дальнейшем продолжали вскрывать подобного рода инварианты, только уже в
виде инвариантных пропорций, что существенно меняло способ их анализа
числа.) Но, начав с этого, они вскоре перешли от семерки к десятке, потому
что семерка "не рождает". А это значит, что их внимание сосредоточилось не
только на выявлении семеричности в природе, но и на связи чисел друг с
другом и отношении их между собой. Они обнаружили, что числа вступают между
собой в определенные отношения, что их произведения, суммы, разности дают
некоторые значимые сочетания, что именно эти сочетания - а не просто сами
числа - выражают собой вещи и их закономерности. Десятка "рождает" -
значит, в десятке уже скрыто содержится ряд важных числовых соотношений и
фигур.
Новое понимание числа могло возникнуть только тогда, когда существенным
стало различение чисел четных и нечетных, первых (простых) и вторых
(сложных) и когда стремление проанализировать отношения между числами,
формы их связи между собой привело к установлению отношений прежде всего
двух последовательных чисел натурального ряда, n и n + 1. В этом смысле
первая десятка, по убеждению пифагорейцев, уже содержит в себе все
возможные типы числовых отношений38 (а пифагорейцы признавали 10 видов этих
отношений).
Пояснением к этому может служить отрывок из Спевсиппа, взятый из
"Теологумен", переведенный и прокомментированный П. Таннери: "...10
заключает в себе все отношения равенства, превосходства, подчиненности,
возможные между последовательными числами, и другие, а равно линейные,
плоские и телесные числа, так как 1 есть точка, 2 - линия, 3 - треугольник,
4 - пирамида, и каждое из этих чисел первое в своем роде и начало ему
подобных. А эти числа образуют первую из прогрессий, а именно разностную, и
общая сумма ее членов - число 10... В плоских и телесных фигурах первые
элементы также точка, линия, треугольник и пирамида, заключающиеся в числе
10 и в нем же находящие свое завершение. Так, например, у пирамиды (имеется
в виду "первая" пирамида - тетраэдр. - П.Г.) 4 угла или 4 грани и 6 ребер,
что составляет 10. Интервалы и пределы точки и линии дают также 4, стороны
и углы этого треугольника - 6, т.е. опять-таки 10"39. Говоря о том, что
точка, линия, треугольник и пирамида составляют число 10, Спевсипп имеет в
виду числовое выражение точки, линии, треугольника и пирамиды, т.е. 1 + 2 +
3 + 4 = 10, что, будучи изображено графически, дает совершенный треугольник
- знаменитую пифагорейскую тетрактиду, или четверицу (рис. 5).
Рис. 5
Декада, таким образом, есть также равносторонний треугольник, а это,
согласно пифагорейцам, совершенная фигура.
Делая, таким образом, первые - и решающие - шаги в создании математики как
теоретической системы, ранние пифагорейцы в то же время рассматривали
открываемые ими отношения чисел как символы некоторой божественной
реальности. Согласно свидетельству Прокла (из комментариев к "Началам"
Евклида), "у пифагорейцев мы найдем, что одни углы посвящены одним богам,
другие - другим. Так, например, поступил Филолай, посвятивший одним богам
угол треугольника, другим - (угол) четырехугольника и иные (углы) иным
(богам), и приписавший один и тот же (угол) нескольким богам, и одному и
тому же богу несколько углов соответственно различным силам, (находящимся)
в нем"40.
Такого рода отождествление различных богов с определенными числовыми
отношениями и их геометрическими изображениями носит характер, близкий к
мифологическим отождествлениям (море - Посейдон, дерево - дриада, волны -
Океаниды и т.д.). Так, у Прокла далее читаем: "Справедливо Филолай посвятил
угол треугольника четырем богам: Кроносу, Аиду, Аресу и Дионису... Ибо
Кронос владеет всей влажной и холодной субстанцией, Арес же - сей огненной
природой, и Аид содержит (в своей власти) всю земную жизнь, Дионис же
правит влажным и теплым рождением, коего символ - вино, тоже влажное и
теплое. Все они различны по своим делам, касающимся (вещей) второго
порядка, (сами же) между собой соединяются. Поэтому-то Филолай изображает
их соединение, приписывая всем им вместе один угол" (МД. Ч. III. 32А, 14).
Здесь нетрудно увидеть единство, в каком для сознания пифагорейцев
выступали соотношения чисел и связь божественных сил и природных стихий.
Итак, декада содержит в себе все виды числовых отношений, а эти отношения
лежат в основе как природных процессов, так и жизни человеческой души.
Числовые отношения составляют самую сущность природы, и именно в этом
смысле пифагорейцы говорят, что "все есть число". Поэтому познание природы
возможно только через познание числа и числовых отношений41. Платон
ограничил значение числа, полагая, что последнее не само выражает сущность
всего существующего, а есть лишь путь к постижению этой сущности. Число,
как мы дальше увидим, Платон помещает как бы посредине между чувственным
миром и миром истинно сущего. Аристотель подверг критике пифагорейский
тезис "все есть число" с другой позиции, чем Платон. Если для пифагорейцев
математика лежит в фундаменте всякого знания о природе, то Аристотель в
корне переосмысливает соотношение математики и физики, создавая направление
научного исследования ("научную программу"), в корне отличное от
пифагорейского.
В декаде, по убеждению пифагорейцев, не только содержатся все возможные
отношения чисел, но она являет также природу числа как единства предела и
беспредельного. Декада - это "предел" числа, ибо, перешагнув этот предел,
число вновь возвращается к единице. Но поскольку можно все время выходить
за пределы декады, поскольку она не кладет конца счету, то в ней
присутствует и беспредельное. В этом отношении декада есть как бы модель
всякого числа, числа вообще. Как мы уже отмечали, декада пифагорейцев
предстает также как священная четверица42, которая, по преданию, была
клятвой пифагорейцев.
Итак, анализ пифагорейского учения о декаде показывает, что понимание ими
числа включает в себя два момента. Во-первых, сходную с древневосточной и
древнегреческой традициями сакрализацию числа и соответствующую ей
тенденцию вскрывать десятиричную основу во всем существующем43. Во-вторых,
существенно новый подход к анализу священного числа с целью раскрыть в нем
возможные числовые отношения. При этом внимание направляется на внутренние
связи между числами, что приводит к установлению ими важнейших
математических положений.
То обстоятельство, что оба эти момента - отношение к числу как чему-то
священному и анализ реальных форм связей между числами - соединяются,
оказывается важным для генезиса математики как систематической теории. В
самом деле, во-первых, искомые и находимые связи между числами, числовые
пропорции выступают как основа и фундамент всех природных явлений и
процессов; во-вторых, поиски связей и единства всех возможных
закономерностей числа становятся для них центральной задачей исследования.
Пропорциъ и гармония
Уже из анализа пифагорейского учения о сущности декады можно видеть, что в
центре внимания пифагорейцев стоит вопрос об отношениях чисел, т.е. о
пропорциональных отношениях.
Числовые пропорции, или соразмерности, пифагорейцы называли также
гармониями. Еще Пифагор, как утверждают многие свидетельства, открыл связь
числовых соотношений с музыкальной гармонией. Он обнаружил, что при
определенных соотношениях длин струн последние издают приятный
(гармонический) звук, а при других - неприятный (диссонанс). Приписываемое
Пифагору открытие возвращает нас к уже рассмотренной декаде и священной
четверице. "Пифагор открыл, - пишет А.О. Маковельский, - что если заставить
последовательно звучать целую струну, половину ее, две трети и три
четверти, то получим основной тон, октаву его, квинту и, наконец, кварту.
Таким образом, отношения, даваемые длиной струны, будут для октавы 1:2, для
квинты 2:3 и для кварты 3:4. Эти числа представляют прогрессию, в которой 4
термина и 3 интервала. Сумма терминов равна 10, а три последовательных
интервала, 2, 3/2, 4/2, 4/3, согласно чудесному открытию Пифагора, суть
интервалы октавы, квинты и кварты"44.
Мы не будем специально рассматривать вопрос, является ли установление
гармонических интервалов заслугой Пифагора или позднейших пифагорейцев45.
Нам лишь важно подчеркнуть, что это открытие сыграло большую роль для
дальнейшего развития науки о числе, поскольку утверждение "все есть число"
получило свой смысл благодаря тому, что числовые отношения обнаруживались в
самых разных процессах46.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
беспредельного. Мир, следовательно, мыслится здесь как нечто завершенное,
замкнутое (предел), а окружающая его пустота - как нечто аморфное,
неопределенное, лишенное границ - беспредельное. Противоположность "предел
- беспредельное" первоначально была близка к таким мифологическим
противоположностям, носящим ценностно-символический характер, как свет -
тьма, доброе - злое, чистое - нечистое и т.д. Об этом свидетельствует и
высказывание Аристотеля о пифагорейцах, где дается перечень десяти пар
противоположностей:
предел - беспредельное,покоящееся - движущееся,нечет - чет,прямое -
кривое,единое - множество,свет - тьма,правое - левое,хорошее -
дурное,мужское - женское,квадрат - параллелограмм25.Из этих
противоположностей строится все существующее, и само число рассматривается
тоже как состоящее из противоположностей - чета и нечета. Как сообщает
Аристотель, "элементами числа они (пифагорейцы. - П.Г.) считают чет и
нечет, из коих первый является неопределенным, а второй определенным;
единое состоит у них из того и другого - оно является и четным и нечетным,
число <образуется> из единого, а <различные> числа, как было сказано, это -
вся вселенная"26.
Единое, или единицу (monРj), пифагорейцы, как видно из приведенного текста
Аристотеля, ставили в особое положение: единица для них - это не просто
число, как все остальные27, а начало чисел; чтобы стать числом, все должно
приобщиться к единице - она же единство. Определение единицы, как его дает
Евклид в VII книге "Начал", явно восходит к пифагорейскому: "Единица есть
то, через что каждое из существующих считается единым"28. Поэтому
пифагорейцы не считают единицу нечетным числом (они вообще не считают ее
числом, а скорее началом числа)29; первым четным числом у них является
двойка, а первым нечетным - тройка.
Но почему четное соотносится с беспредельным, а нечетное - с пределом?
Чтобы понять это, надо иметь в виду, что для пифагорейцев числа имели также
зрительный образ; число для них было не просто количеством, а имело
качественную характеристику. Это, видимо, было связано также и с тем, что
древние математики изображали числа геометрически. "Представлять числа в
виде геометрических образцов, - пишет У.К. Гатри, - было обычной практикой
пифагорейцев; вероятно, это была самая ранняя практика и у греков, и у
других народов"30. Благодаря этому арифметика и геометрия у пифагорейцев
были очень тесно связаны. Поэтому пифагорейцы различали линейные, плоские и
телесные числа. Так, единица у них выступала как точка, двойка - как линия
(две точки), тройка - как плоскость (рис. 1), четверка - как тело ("первое"
тело - пирамида; рис. 2).
Рис. 1 Рис. 2
Теперь присмотримся к характеру первого четного и первого нечетного чисел.
Первое нечетное - тройка - имеет начало, конец и середину. Оно тем самым, с
точки зрения пифагорейцев, завершено и довлеет себе, есть замкнутое целое.
Тройка, согласно пифагорейцам, - это элементарный треугольник, совершенная
фигура. Что же касается двойки, то у нее недостает середины, поэтому она не
имеет центра в себе и ей свойственно растекаться в беспредельность31. И в
самом деле, двойка - это определение линии, а линия неограниченно
простирается в обе стороны32.
Аристотель в "Физике" разъясняет пифагорейское учение о чете и нечете
следующим образом: "...пифагорейцы считают бесконечное четным числом, оно,
будучи заключено внутри и ограничено нечетным числом, сообщает существующим
вещам бесконечность. Доказательством служит то, что происходит с числами:
именно, если накладывать гномоны вокруг единицы и сделать это далее (для
четных и нечетных отдельно), в одном случае получается всегда особый вид
фигуры, в другом - один и тот же"33.
Гномоном в Древней Греции назывался вертикальный стержень, поставленный на
горизонтальной плоскости (первые солнечные часы). Пифагорейцы именовали
гномоном фигуру, полученную при операции образования большего квадратного
числа из меньшего. Гномонами они называли нечетные числа, так как
обнаружили, что если их последовательно прибавлять к единице, то они
сохраняют фигуру квадрата: 1 + 3 = 22; 4 + 5 = 32 и т.д. Графически это
изображалось следующим образом (рис. 3). Последовательные гномоны имеют
форму, изображенную на рис. 4. Как видим, путем наложения гномонов
сохраняется один и тот же вид фигуры - квадрат. Именно это свойство
нечетных чисел - образовывать в результате их прибавления одну и ту же,
хотя и возрастающую в размерах, фигуру - было существенно для пифагорейцев.
Рис. 3 Рис. 4
А что имеет в виду Аристотель, говоря о другом случае - о случае, когда
каждый раз возникает особая фигура? Оказывается, если складывать числа
четные, то будем получать не квадрат, а прямоугольник: 2, 6, 12, 20 и т.д.
Эти числа пифагорейцы называли "прямоугольными" в отличие от первых -
"квадратных": 4, 9, 16, 25 и т.д. Четные числа впоследствии стали называть
гномонами прямоугольников. Нечетное число, таким образом, сохраняет себя
(свою форму), а потому оно - предел, единое, покоящееся, прямое,
квадратное, хорошее; четное же теряет свою форму: оно беспредельное,
множество, движущееся (изменчивое), кривое, неквадратное (разностороннее),
дурное.
Для ранних пифагорейцев вообще характерно стремление к выделению
совершенных чисел, т.е. таких, в которых воплощаются особенно значимые, с
их точки зрения, связи природы и человеческой души. Такое рассмотрение
числа, по-видимому, восходит к мифологической и культовой символике, но у
пифагорейцев операции с совершенными числами ведут к установлению ряда
числовых соотношений, важного для дальнейшего развития математики в Древней
Греции.
Числовая символика пифагорейцев
В пифагорейском союзе первоначально уделялось много внимания числовой
символике. Так, к уже ранее найденным семеркам - семь элементов, семь сфер
вселенной, семь частей тела, семь возрастов человека, семь времен года и
т.д. - пифагорейцы прибавили семь музыкальных тонов и семь планет. Однако
уже первые операции над числами привели к тому, что семерка уступила место
десятке. О том, как это произошло, дает представление следующий отрывок из
Лаврентия Лида: "Итак, правильно Филолай назвал число 7 "не имеющим
матери". Ибо оно по своей природе ни рождает, ни рождается. Не рождающее же
и не рождаемое - неподвижно"34. Этот отрывок дает представление о
символическом языке пифагорейцев. Смысл сказанного на этом языке таков:
семерка - простое число, она не возникает из множителей, как другие числа:
4, 6, 8, 9, 10. Можно, правда, рассматривать ее как произведение 1(7, но
положение единицы как сомножителя в пифагорейской математике
неоднозначно35. Именно поэтому в некоторых свидетельствах сообщается о том,
что семерка не рождена от матери, но имеет только отца - монаду (в этом
случае единица принимается за сомножитель); в других же случаях говорится,
что у нее нет ни матери, ни отца. Семерка была низведена с пьедестала
самого совершенного числа и уступила место десятке потому, что, как
сообщают свидетельства, она неподвижна, не рождается от других чисел и сама
не рождает36.
Сам по себе переход от семерки к десятке как совершенному числу37 не
означает какого-то существенного сдвига, ибо происходит еще в русле
прежнего, сакрально-мифологического отношения к "священному числу". Но
мотивировка этого перехода нам представляется весьма существенной для
понимания того, как в пифагорейской школе совершался переход от древней
мифолого-сакральной числовой символики к выявлению математических числовых
отношений.
В самом деле, как рассматриваются числа, освященные в разных древних
культурах, - семерка, пятерка, тройка и другие? Точно так же, как мы уже
видели у Гиппократа: в форме перечисления семеричных реалий: природных
стихий, времен года, периодов человеческой жизни и т.д. И чем больше
обнаруживается такого рода семеричных, пятеричных, троичных реалий, тем
ярче становится ореол совершенства вокруг семерки, пятерки, троицы.
Возможно, и пифагорейцы начали именно с этого. (И не только начали - они и
в дальнейшем продолжали вскрывать подобного рода инварианты, только уже в
виде инвариантных пропорций, что существенно меняло способ их анализа
числа.) Но, начав с этого, они вскоре перешли от семерки к десятке, потому
что семерка "не рождает". А это значит, что их внимание сосредоточилось не
только на выявлении семеричности в природе, но и на связи чисел друг с
другом и отношении их между собой. Они обнаружили, что числа вступают между
собой в определенные отношения, что их произведения, суммы, разности дают
некоторые значимые сочетания, что именно эти сочетания - а не просто сами
числа - выражают собой вещи и их закономерности. Десятка "рождает" -
значит, в десятке уже скрыто содержится ряд важных числовых соотношений и
фигур.
Новое понимание числа могло возникнуть только тогда, когда существенным
стало различение чисел четных и нечетных, первых (простых) и вторых
(сложных) и когда стремление проанализировать отношения между числами,
формы их связи между собой привело к установлению отношений прежде всего
двух последовательных чисел натурального ряда, n и n + 1. В этом смысле
первая десятка, по убеждению пифагорейцев, уже содержит в себе все
возможные типы числовых отношений38 (а пифагорейцы признавали 10 видов этих
отношений).
Пояснением к этому может служить отрывок из Спевсиппа, взятый из
"Теологумен", переведенный и прокомментированный П. Таннери: "...10
заключает в себе все отношения равенства, превосходства, подчиненности,
возможные между последовательными числами, и другие, а равно линейные,
плоские и телесные числа, так как 1 есть точка, 2 - линия, 3 - треугольник,
4 - пирамида, и каждое из этих чисел первое в своем роде и начало ему
подобных. А эти числа образуют первую из прогрессий, а именно разностную, и
общая сумма ее членов - число 10... В плоских и телесных фигурах первые
элементы также точка, линия, треугольник и пирамида, заключающиеся в числе
10 и в нем же находящие свое завершение. Так, например, у пирамиды (имеется
в виду "первая" пирамида - тетраэдр. - П.Г.) 4 угла или 4 грани и 6 ребер,
что составляет 10. Интервалы и пределы точки и линии дают также 4, стороны
и углы этого треугольника - 6, т.е. опять-таки 10"39. Говоря о том, что
точка, линия, треугольник и пирамида составляют число 10, Спевсипп имеет в
виду числовое выражение точки, линии, треугольника и пирамиды, т.е. 1 + 2 +
3 + 4 = 10, что, будучи изображено графически, дает совершенный треугольник
- знаменитую пифагорейскую тетрактиду, или четверицу (рис. 5).
Рис. 5
Декада, таким образом, есть также равносторонний треугольник, а это,
согласно пифагорейцам, совершенная фигура.
Делая, таким образом, первые - и решающие - шаги в создании математики как
теоретической системы, ранние пифагорейцы в то же время рассматривали
открываемые ими отношения чисел как символы некоторой божественной
реальности. Согласно свидетельству Прокла (из комментариев к "Началам"
Евклида), "у пифагорейцев мы найдем, что одни углы посвящены одним богам,
другие - другим. Так, например, поступил Филолай, посвятивший одним богам
угол треугольника, другим - (угол) четырехугольника и иные (углы) иным
(богам), и приписавший один и тот же (угол) нескольким богам, и одному и
тому же богу несколько углов соответственно различным силам, (находящимся)
в нем"40.
Такого рода отождествление различных богов с определенными числовыми
отношениями и их геометрическими изображениями носит характер, близкий к
мифологическим отождествлениям (море - Посейдон, дерево - дриада, волны -
Океаниды и т.д.). Так, у Прокла далее читаем: "Справедливо Филолай посвятил
угол треугольника четырем богам: Кроносу, Аиду, Аресу и Дионису... Ибо
Кронос владеет всей влажной и холодной субстанцией, Арес же - сей огненной
природой, и Аид содержит (в своей власти) всю земную жизнь, Дионис же
правит влажным и теплым рождением, коего символ - вино, тоже влажное и
теплое. Все они различны по своим делам, касающимся (вещей) второго
порядка, (сами же) между собой соединяются. Поэтому-то Филолай изображает
их соединение, приписывая всем им вместе один угол" (МД. Ч. III. 32А, 14).
Здесь нетрудно увидеть единство, в каком для сознания пифагорейцев
выступали соотношения чисел и связь божественных сил и природных стихий.
Итак, декада содержит в себе все виды числовых отношений, а эти отношения
лежат в основе как природных процессов, так и жизни человеческой души.
Числовые отношения составляют самую сущность природы, и именно в этом
смысле пифагорейцы говорят, что "все есть число". Поэтому познание природы
возможно только через познание числа и числовых отношений41. Платон
ограничил значение числа, полагая, что последнее не само выражает сущность
всего существующего, а есть лишь путь к постижению этой сущности. Число,
как мы дальше увидим, Платон помещает как бы посредине между чувственным
миром и миром истинно сущего. Аристотель подверг критике пифагорейский
тезис "все есть число" с другой позиции, чем Платон. Если для пифагорейцев
математика лежит в фундаменте всякого знания о природе, то Аристотель в
корне переосмысливает соотношение математики и физики, создавая направление
научного исследования ("научную программу"), в корне отличное от
пифагорейского.
В декаде, по убеждению пифагорейцев, не только содержатся все возможные
отношения чисел, но она являет также природу числа как единства предела и
беспредельного. Декада - это "предел" числа, ибо, перешагнув этот предел,
число вновь возвращается к единице. Но поскольку можно все время выходить
за пределы декады, поскольку она не кладет конца счету, то в ней
присутствует и беспредельное. В этом отношении декада есть как бы модель
всякого числа, числа вообще. Как мы уже отмечали, декада пифагорейцев
предстает также как священная четверица42, которая, по преданию, была
клятвой пифагорейцев.
Итак, анализ пифагорейского учения о декаде показывает, что понимание ими
числа включает в себя два момента. Во-первых, сходную с древневосточной и
древнегреческой традициями сакрализацию числа и соответствующую ей
тенденцию вскрывать десятиричную основу во всем существующем43. Во-вторых,
существенно новый подход к анализу священного числа с целью раскрыть в нем
возможные числовые отношения. При этом внимание направляется на внутренние
связи между числами, что приводит к установлению ими важнейших
математических положений.
То обстоятельство, что оба эти момента - отношение к числу как чему-то
священному и анализ реальных форм связей между числами - соединяются,
оказывается важным для генезиса математики как систематической теории. В
самом деле, во-первых, искомые и находимые связи между числами, числовые
пропорции выступают как основа и фундамент всех природных явлений и
процессов; во-вторых, поиски связей и единства всех возможных
закономерностей числа становятся для них центральной задачей исследования.
Пропорциъ и гармония
Уже из анализа пифагорейского учения о сущности декады можно видеть, что в
центре внимания пифагорейцев стоит вопрос об отношениях чисел, т.е. о
пропорциональных отношениях.
Числовые пропорции, или соразмерности, пифагорейцы называли также
гармониями. Еще Пифагор, как утверждают многие свидетельства, открыл связь
числовых соотношений с музыкальной гармонией. Он обнаружил, что при
определенных соотношениях длин струн последние издают приятный
(гармонический) звук, а при других - неприятный (диссонанс). Приписываемое
Пифагору открытие возвращает нас к уже рассмотренной декаде и священной
четверице. "Пифагор открыл, - пишет А.О. Маковельский, - что если заставить
последовательно звучать целую струну, половину ее, две трети и три
четверти, то получим основной тон, октаву его, квинту и, наконец, кварту.
Таким образом, отношения, даваемые длиной струны, будут для октавы 1:2, для
квинты 2:3 и для кварты 3:4. Эти числа представляют прогрессию, в которой 4
термина и 3 интервала. Сумма терминов равна 10, а три последовательных
интервала, 2, 3/2, 4/2, 4/3, согласно чудесному открытию Пифагора, суть
интервалы октавы, квинты и кварты"44.
Мы не будем специально рассматривать вопрос, является ли установление
гармонических интервалов заслугой Пифагора или позднейших пифагорейцев45.
Нам лишь важно подчеркнуть, что это открытие сыграло большую роль для
дальнейшего развития науки о числе, поскольку утверждение "все есть число"
получило свой смысл благодаря тому, что числовые отношения обнаруживались в
самых разных процессах46.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43